Modelo Hull-White: coincidencia entre el marco HJM y la formulación de modelos cortos

Question

Tengo que demostrar que el modelo Casco-Blanco <span class="math-container">%-%%%-%-%%-%-%-%-%$$$</span> Obtuve la deriva con la condición de deriva <span class="math-container">%-%%%-%-%-sigma(t,T)-sigma e-a(T-t)-%-%-%df(t,T)%-%-%T-t-rightarrow f(t,t)-r(t)%-%-%dr(t)$</span>, pero la expresión resultante se ve completamente diferente.

¿Podría mostrarme cómo realizar los cálculos necesarios?

Gracias Giulio

Answer 1

Tenga en cuenta que <span class="math-container">\begin{align} f(t, T) = f(0, T) + \int_0^t\alpha(u,T)du+\int_0^t\sigma e^{-a(T-u)}dW_u, \end\begin{align} f(0, T) = \int_0^T \theta(u) e^{-a(T-u)} du - \frac{\sigma^2}{2a^2}\big(e^{-a T} -1\big)^2 + e^{-a T} r_0. \end\begin{align} \int_0^t\alpha(u,T)du &= \int_0^t\sigma(u,T)\int_u^T\sigma(u,s)dsdu\ &=\int_0^t\sigma e^{-a(T-u)}\int_u^T\sigma e^{-a(s-u)}dsdu\ &=-\frac{\sigma^2}{2a^2}\Big[\big(e^{-a(T-t)}-1\big)^2 - \big(e^{-aT}-1 \big)^2 \Big]. \end\begin{align} r_t &= f(t, t)\ &=e^{-at}\int_0^t \theta(u) e^{au} du + e^{-a t} r_0+e^{-at}\int_0^t\sigma e^{au}dW_u. \end\begin{align*} dr_t &= -ar_t dt + \theta(t) dt + \sigma dW_t\ &= (\theta(t) - a r) dt + \sigma dW_t. \end------------------------------------------------------------</span> donde, sobre la base de esta pregunta, <span class="math-container">-------------------------------------------------------------------------------------</span> Tenga en cuenta también que <span class="math-container">-------------------------------------------------------------------------------------</span> por lo tanto <span class="math-container">-------------------------------------------------------------------------------------</span> Entonces, está claro que <span class="math-container">-------------------------------------------------------------------------------------</span>