Árbol binomial de convergencia hacia la ecuación BS - Lucha con un límite

Question

Estoy intentando demostrar que el método de fijación de precios del árbol binomial converge hacia el modelo de Black y Scholes, pero tengo dificultades en un paso concreto.

No entiendo cómo se calcula el límite de p*(1-p).

Cosas que probé:

He calculado $p(1-p)$ :

$\frac{2\cdot\exp\left(\frac{rT}{n}+\sigma\sqrt{\frac{T}{n}}\right)-\exp\left(\frac{2rT}{n}\right)-1}{\exp\left(2\sigma\sqrt{\frac{T}{n}}\right)+\exp\left(-2\sigma\sqrt{\frac{T}{n}}\right)-2}$

He utilizado la siguiente fórmula para expresar la exponencial:

$\exp(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

Pero al sustituir la expresión de $exp(x)$ en $p(1-p)$ No encuentro nada...

También he probado la regla Hospital pero parece un proceso infinito. De hecho, no estoy seguro del significado de "expandir las funciones exponenciales en una serie".

Gracias por su ayuda.

Answer 1

No estoy seguro de que sea correcto, pero así es como yo abordaría su pregunta.

Dada: $ p = \frac{e^{rT/n} - e^{-\sigma \sqrt{T/n}}}{e^{\sigma \sqrt{T/n}} - e^{-\sigma \sqrt{T/n}}}$

En la siguiente expansión de taylor, asumo que $x = rT/n$ , $\sigma \sqrt{T/n}$ , $-\sigma \sqrt{T/n}$

$e^{rT/n}\approx 1 + \frac{rT}{n} +\mathcal{O}((\frac{rT}{n})^2) + \dots$

$e^{\sigma \sqrt{T/n}}\approx 1 + \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} (\frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}})^2 + \dots = 1 + \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n} + \mathcal{O}((\frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}})^3)$ (no estoy seguro de haber utilizado correctamente la notación big O)

$e^{\sigma \sqrt{T/n}}\approx 1 - \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} (\frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}})^2 + \dots = 1 - \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n} + \mathcal{O}((-\frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}})^3)$

Por lo tanto: $p = \frac{1 + \frac{rT}{n} - (1 - \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n})}{1 + \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n} - (1 - \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} + \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n})} = \frac{\frac{rT}{n}+ \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2!} \frac{\sigma^2 T}{n}}{2 \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}}} = \frac{\frac{T}{n}(r - \frac{1}{2}\sigma^2)+ \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}} }{2 \frac{\sigma \sqrt{T}}{\sqrt{n}}} $

$p = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{T} }{2 \sigma\sqrt{n}}(r - \frac{1}{2}\sigma^2) $

$1-p = \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{T} }{2 \sigma\sqrt{n}}(r - \frac{1}{2}\sigma^2) $

Utilizando la identidad ( $a^2-b^2) = (a-b)(a+b)$

$p(1-p) = \frac{1}{4} - \frac{T}{4 \sigma^2n}(r - \frac{1}{2}\sigma^2)^2$

A partir de este punto, podemos ver que como $\lim_{n \to \infty}$$ \frac{T}{4 \sigma^2n}(r - \frac{1}{2}\sigma^2)^2 \a 0$

Por lo tanto, $p(1-p) \to \frac{1}{4}$

Espero que esto haya respondido a su pregunta. No dude en hacer preguntas de seguimiento si hay algo de lo que no está seguro. Le deseo mucha suerte.