control óptimo estocástico/FOC/Reis(2021)

Question

R $r < g$ pero $g < m$ ' : HJB: $$\rho V(a, q) = \max_{c/a, k/a} [\log c + V'(a,q)[r + (mq-r)\frac{k}{a} - \frac{c}{a}] a + \frac{V''(a,q)}{2} (k/a)^2 \delta^2 a^2 + v \int ((V(a,q') - V(a,q)) dQ(q'|q)]$$ donde $V'(.) = \partial V(.)/\partial a$ . Es estándar derivar que en un óptimo: $$c = \rho a$$ $$\frac{k}{a} = \frac{mq-r}{\delta(q)^2}$$ $$V'(.) = \frac1{\rho a}$$ $$ \lim_{t\to\infty} e^{-\rho t} V'(.) a_t = 0$$

El autor dice "estándar", pero tengo dificultades para deducir estos FOC. Utilizando $\log c/a + \log a$ Puedo conseguir $c/a = 1/aV'$ . Además, es fácil $k/a = -(mq-r)V'/V'' \delta^2 a$ . Supongo que el siguiente paso es diferenciar HJB w.r.t. $a$ (la condición de la envoltura). Esto me da $$\rho V' = \frac1a + V'' \mu_a a + V'\mu_a + \frac{V'''}{2} \sigma_a^2 + V'' (k/a)^2 \delta^2 a + v \int (V'(a, q') - V'(a, q) dQ(q'|q)$$ donde $\mu_a$ es la deriva de $da$ y $\sigma_a$ es la volatilidad de $da$ . Para que se cumpla la tercera FOC del documento, los términos del lado derecho deben anularse excepto $1/a$ . Pero, ¿por qué es cierto? ¿Puede ayudarnos?

Puede encontrar el papel . Se encuentra en la p.37 (Apéndice A).

Answer 1

Creo que el enfoque "estándar" para resolver ecuaciones HJB como ésta es adivinar una forma para $V$ y luego verifícalo. Sus condiciones de primer orden para $c/a$ y $k/a$ tienen razón.

Ahora, adivina que $V(a, q) = K\log(a)$ . Con esto consigues

\begin{align} c &= \frac{a}{K},\\ \frac{k}{a} &= \frac{mq - r}{\delta(q)^2},\\ V'(.) &= \frac{K}{a}. \end{align}

El paso de verificación es el siguiente. Para simplificar la notación, definamos $\xi \equiv \frac{mq - r}{\delta(q)}$ como el precio de mercado del riesgo (el ratio de Sharpe). Introduzca su estimación de $V$ en el HJB y reorganizar para obtener

$$ \underbrace{\rho K\log(a)}_{\text{LHS of HJB}} = \underbrace{\log(a) - \log K + Kr - 1 + \frac{1}{2}K\xi^2}_{\text{RHS of HJB}}. $$ Comparación de los términos $a$ en el LHS y RHS, debemos tener $\rho K = 1$ que, al introducirse en los FOC anteriores, se obtienen los FOC del texto.