El modelo de 2 periodos que ha escrito y los modelos de efectos fijos (EF) son equivalentes para 2 periodos y un tratamiento. La ventaja de los efectos fijos es que se extienden a múltiples periodos y tratamientos (por ejemplo, pueden adaptarse a tratamientos múltiples/escalonados y otras variaciones).
Supongamos que aplicamos el modelo FE durante 2 periodos. Una forma de aplicar FE es incluir variables ficticias para todas las unidades posibles, menos una debido a la colinealidad perfecta. Así, tendríamos variables ficticias de tiempo y de tratamiento (i).
Para dos periodos y un tratamiento, es decir, dos grupos (un tratamiento y un control), sólo se puede utilizar una variable ficticia cada uno, para evitar la multicolinealidad perfecta. Por ejemplo, stata eliminaría automáticamente una variable ficticia si incluyera variables ficticias de tiempo para ambos (todos) los periodos en este caso.
Así pues, su modelo de EF en el caso de 2 periodos tendría 1 variable ficticia (es decir, variable indicadora) para el tiempo y 1 para el tipo de unidad (tratamiento frente a control).
Así, en el modelo FE con 2 periodos y un tratamiento, su tiempo FE $\theta_{i}$ consistiría íntegramente en 1 variable indicadora para el segundo periodo de tiempo. Llamémosle $\theta_{post}$ . La FE para grupos $\alpha_i$ también tendría un único indicador de tratamiento, denominado $\alpha_{treatmemt}$ porque no hay otros grupos de tratamiento
Es fácil ver que esto es exactamente lo mismo que el modelo de dos periodos.
Por supuesto, tener la variable ficticia opuesta (por ejemplo, para pre en lugar de post y control en lugar de tratamiento), no afecta a la estimación beta para 2 periodos con un tratamiento, porque las variables ficticias pre y post son perfectamente colineales, por lo que puede utilizar cualquiera de ellas. Lo mismo para las variables ficticias de tratamiento y control.
Así pues, el modelo FE no es más que una versión más general y flexible del modelo de 2 periodos que mencionas, utilizando la misma lógica.
