$N(A) \oplus R(A) = V \; \forall A$ ?

Question

Si $A$ es un $m•n$ matriz.

Pregunta: Es $N(A) \oplus R(A) = V \; \forall A$ ?

• Actualización: Ahora creo que esta pregunta sólo tiene sentido para matrices cuadradas, como se indica a continuación.

Terminología

1. $R(A)$ Me refiero al rango de la matriz A, que también se define como $CS(A)$ el espacio de columnas de $A$ .
2. $N(A)$ el Espacio Nulo de Matrix $A$ .
3. $\oplus$ Suma directa, tal como se define en el punto 3 siguiente.
4. Supongo $V$ ser $\mathbb{R^n}$

¿Por qué escribo aquí? El álgebra lineal es fundamental para muchos estudios económicos, y esta comunidad me parece mucho más paciente, atractiva y generosa que la de StackMaths...(¡no se lo digas a nadie!).

Mis pensamientos hasta ahora:

0. Gracias al comentario de Michael Greinecker, creo que debemos tener $n=m$ de lo contrario no podemos tomar la suma $R(A) + N(A)$ porque serían subespacios de dimensiones diferentes....Pero la cuestión sigue siendo válida para cuando $n=m$ . Gracias.
1. Sé que si A es una matriz de proyección P entonces $N(P) \oplus R(P) = V \; \forall P$ . Pero ¿qué pasa con cualquier Square $A$ ?
2. Entiendo que si tenemos una matriz simétrica, entonces $N(A) \oplus R(A) = V$ como el $N(A) = N(A^T) = R(A)^\perp$ y la suma de complementos ortogonales es directa.
3. $V = N(A) \oplus R(A)$ significa que $V = R(A) + N(A)$ & $N(A) \cap R(A) = \{0\}$

• Teorema de la nulidad por rango $Dim(V) = Dim(N(A)) + Dim(Range(A))$
• Creo que $R(A)$ & $N(A)$ son siempre linealmente independientes?

Por lo tanto, tendríamos $V = R(A) + N(A)$ & ya que ambos son subespacios $N(A) \cap R(A) = \{0\}$ .

Si no fueran Linealmente Independientes entonces seguramente tendríamos $N(A) \subseteq R(A)$ o viceversa.

No puedo entender qué significa esto, o si sucede en todos los casos excepto en el caso trivial de que A no sea singular (en cuyo caso $N(A) \oplus R(A) = V$ se mantiene).

• Como corolario de lo que estoy diciendo, ¿es correcto que nuestros espacios vectoriales o bien sólo comparten el vector 0, o bien uno es un subconjunto del otro. Es decir, no pueden compartir sólo algunos vectores.

Answer 1

Su fórmula

$$N(A) \oplus R(A) = V\qquad (1)$$

no es cierto en casos generales, es correcto en un caso particular, si $A$ es una matriz simétrica, por lo que $A^T=A$ donde $A^T$ es la transposición de $A$ .

En realidad, existe en álgebra lineal un teorema que implica la suma directa de núcleo y gama de una transformación lineal, e implica la transposición $A^T$ de la matriz $A$ . Y este teorema vale para cualquier matriz real, no sólo para matrices cuadradas.

Si no te importa, cambio las anotaciones, llamando a $\ker A$ (o $\ker L_A$ ) el núcleo (o espacio nulo ) de la tranformación lineal asociada a $A$ (su $N(A)$ ) y $\operatorname{Im} A$ ( o $\operatorname{Im} L_A$ ) su $R(A)$ El imagen o gama de la transformación lineal asociada a $A$ (Prefiero esta notación para no confundirme, ya que me resulta más fácil de recordar).

El teorema al que me refería antes dice:

Teorema. Sea $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ es decir, una matriz $m\times n$ con entradas reales. Entonces

(i) $\mathbb{R^m}= \operatorname{Im} L_A\oplus \ker L_{A^T}$ y $\mathbb{R^n}= \operatorname{Im}L_{A^T} \oplus \ker L_A$ ,

(ii) $\operatorname{rank} A= \operatorname{rank} A^T$ ,

donde $L_A$ es la transformación lineal asociada a la matriz $A$ .

$\;$

La segunda afirmación (ii) es un resultado importante del álgebra lineal, que dice que la El rango por columnas de una matriz es igual a su rango por filas, es decir, el número máximo de columnas linealmente indipendientes es igual al número máximo de filas linealmente indipendientes.

Omito la prueba que conozco, ya que es demasiado complicada y engorrosa, pues recuerda teoremas y proposiciones enunciados anteriormente, y es necesario recordarlos y volver a enunciarlos. Y, en general, las pruebas y el orden de los teoremas y definiciones pueden cambiar de un libro a otro.

Por lo tanto, es mejor que mires este teorema en tu libro o en algún otro libro de álgebra lineal, también porque, como he dicho, este es un resultado importante.

En fin, Fórmula de Grassman y el Rango-nulidad teorema de tu pregunta se utilizan en la demostración.