precio de reserva

Question

¿Cómo utilizo el precio de la reserva para determinar cuándo el viaje en coche es la mejor opción?

Supongamos que tenemos una función de utilidad $$U(x_1,x_2)=4x_1^{0.5}+2x_2^{0.5}$$ y tenemos ingresos $m=20$ . Si te quedas en Amsterdam el fin de semana puedes comprar 2 productos por los precios $p_1=4$ y $p_2=2$ . Como alternativa, puede alquilar un coche y conducir hasta Flensburg y comprar los mismos artículos por precios $p_1=1$ y $p_2=2$ . (Supongamos que el viaje en coche no contribuye a la utilidad).

La pregunta es: ¿cuál es el precio máximo que estás dispuesto a pagar por alquilar el coche? (gastos de combustible incluidos).

Answer 1

Usaré $x:= x_1$ , $y:= x_2$ ya que son más fáciles y menos confusas de escribir.

Sin el coche, resolverías

$\max 4 x^{0.5} + 2 y^{0.5}$

sujeto a

$4 x + 2 y = 20$

La condición de optimalidad es $MRS = $ Precios relativos. (Esto es un atajo para formar el Lagrangiano)

$\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{2 x^{-0.5}}{y^{-0.5}} = 2 \implies x^{-0.5} = y^{-0.5} \implies x = y $

Introduciendo esto en la restricción presupuestaria,

$6x = 20 \implies x^\star = \frac{10}{3} \implies y^\star = \frac{10}{3}$

Introduciendo estos consumos óptimos en la función de utilidad,

$U^\star = 4 (\frac{10}{3})^{0.5} + 2 (\frac{10}{3})^{0.5} = 6 (\frac{10}{3})^{0.5}$

Por otro lado, con el coche resolverías

$\max 4 x^{0.5} + 2 y^{0.5}$

sujeto a

$x + 2 y = 20 - p_{car}$

Partiendo de la condición de optimalidad,

$\frac{\frac{\partial U}{\partial x}}{\frac{\partial U}{\partial y}} = \frac{p_x}{p_y} \implies \frac{2 x^{-0.5}}{y^{-0.5}} = \frac{1}{2} \implies 4 x^{-0.5} = y^{-0.5} \implies \frac{1}{16} x = y \implies x = 16 y$

Introduciendo esto en la restricción presupuestaria,

$18 y = 20 - p_{car} \implies y^\star = \frac{1}{18} (20 - p_{car}) \implies x^\star = \frac{8}{9} (20-p_{car})$

Introduciendo estos consumos óptimos en la función de utilidad,

$U^\star = 4 (\frac{8}{9} (20 - p_{car}))^{0.5} + 2 (\frac{1}{18} (20 - p_{car}))^{0.5} = \frac{8}{3} \sqrt{2} (20 - p_{car})^{0.5} + \frac{2}{3 \sqrt{2}} (20-p_{car})^{0.5} = \frac{8}{3} \sqrt{2} (20 - p_{car})^{0.5} + \frac{1}{3} \sqrt{2} (20 - p_{car})^{0.5} = 3 \sqrt{2} (20 - p_{car})^{0.5}$

Ahora comparamos los niveles de utilidad de ambas alternativas y resolvemos para $p_{car}$ .

Para que el coche merezca la pena, necesitamos que

$u_{car}^\star \geq u_{no car}^\star \implies 3 \sqrt{2} (20 - p_{car})^{0.5} \geq 6 (\frac{10}{3})^{0.5} \implies 18 (20 - p_{car}) \geq 36 \cdot \frac{10}{3} \implies 20 - p_{car} \geq \frac{20}{3} \implies \frac{40}{3} \geq p_{car} \implies p_{car} \leq \frac{40}{3} $

De aquí puedes concluir que el precio máximo que estarías dispuesto a pagar por el coche es $\frac{40}{3}$ .