Dinámica de transición en el modelo de Solow

Question

Intento comprender la dinámica de transición del modelo de Solow. Tomemos el caso del movimiento hacia adelante (o cuando la relación capital-trabajo $k(t)$ aumenta).

Tengo un montón de preguntas al respecto:

1. ¿Cómo es la $x$ -eje (y de forma similar, $y$ -eje) definido? ¿Es a lo largo del tiempo? $t$ (es decir, una secuencia de la forma $\{k(t)\}_{t \geq 0}$ o se fija el tiempo en $t$ (es decir, una secuencia de la forma $\{k_t : t \text{ is fixed}\}_{0}^{\infty}$ )?
2. ¿Cuál es el significado de la línea discontinua $45^\circ$ ¿Línea?
3. ¿Qué significan las flechas verticales ( $\uparrow$ ) representan? ¿Cómo se produce exactamente la transición?
4. Repita (3) para la horizontal ( $\rightarrow$ ) flechas rojas.

Esto puede requerir una respuesta larga, así que puede sugerirme también un libro que responda a estas preguntas. Sería útil que me explicaras (1) y (2) independientemente de si me sugieres un libro o no.

Answer 1

¿Cómo se define el eje x (y, de forma similar, el eje y)?

$t$ no es fijo, los datos se ordenan por pares en los que siempre se empareja $k(t)$ con $k(t+1)$ para cada $t$ . Así, para t=2001, $k_{2001}$ iría en el eje x y $k_{2002}$ en el eje y y, a continuación, para t=2002, el $k_{2002}$ iría en el eje x y $k_{2003}$ en el eje y. En realidad, el problema es continuo, pero utilizo años para ilustrarlo mejor.

¿Cuál es el significado de la línea discontinua 45 discontinua?

A lo largo de la línea de 45 grados, el capital de mañana es igual al capital de hoy. Cuando el stock de capital mañana y hoy son iguales, significa que hemos alcanzado una especie de equilibrio dinámico en el que la adición de capital es exactamente igual a la depreciación del capital a lo largo del tiempo.

¿Qué significan las flechas verticales ( )? ¿Cómo se produce exactamente la transición? Repite (3) para las flechas horizontales ( ) rojas horizontales.

Las flechas son una notación matemática utilizada en los denominados "diagramas de fases". Se trata de una forma de representar gráficamente la dinámica temporal en ecuaciones diferenciales, que muestra en qué sentido evolucionará la variable a lo largo del tiempo.

Por ejemplo $k^*$ k se irá desplazando hacia la derecha (aumentando), y lo hará de forma iterativa en este modelo (arriba a la derecha, arriba a la derecha, etc.) hasta llegar al punto $(k^*,k^*)$ . Las flechas muestran esta trayectoria. Por encima de $k^*$ te mueves a la izquierda hacia abajo hasta alcanzar el equilibrio.

En cuanto a las preguntas 1-2, hay muchos libros que tratan de la teoría del crecimiento. Por ejemplo, Acemoglu Introduction to Modern Economic Growth es un buen libro o Barro y Salla-i-Martin Economic Growth.

En cuanto a las flechas, eso es sólo una matemática que idealmente deberías saber antes de estudiar la teoría del crecimiento, así que necesitas algún libro de texto de matemáticas para eso. Further Mathematics for Economic Analysis de Sydsaeter et al tiene una buena explicación de las ecuaciones diferenciales y los diagramas de fase orientada a la economía. Sin embargo, cualquier libro de cálculo avanzado servirá aunque no esté centrado en la economía.