Como dije en los comentarios, la cuestión es extremadamente amplia: fijar el precio de una función de pago casi arbitraria para una regla de ejercicio arbitraria para un proceso general de precios de las acciones. Hay libros enteros sobre estas cuestiones, pero aquí tienes un breve resumen. En última instancia, si quieres respuestas más concretas, tienes que acotar tu pregunta.
Opciones europeas
A partir de la propiedad martingala, podemos encontrar precios a partir de los pagos esperados descontados bajo la medida neutral al riesgo: $$V_E=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[f(K,S_T)].$$ Por ejemplo, el precio de una opción de compra es $C_E=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max\{S_T-K,0\}]$ . Si hacemos suposiciones sobre la distribución de $S_T$ podemos calcular esa expectativa (o aproximarla mediante simulaciones en el peor de los casos). Suponiendo una distribución log-normal, recuperamos las fórmulas de Black-Scholes (1973) para las opciones vainilla.
- Si nos centramos en las opciones de compra de $f$ podemos ajustar la fórmula general anterior utilizando cambios numéricos y descomponer el valor de la opción en probabilidad de ejercicio (valor de las opciones digitales). Esto será válido para todos los modelos de precios de acciones.
- Si nos centramos en un modelo de precios de acciones (digamos movimiento browniano geométrico), podemos calcular las griegas y encontrar que $f$ determina el signo de delta, vega y gamma (monotónico $f$ significa delta positivo, convexo $f$ significa vega y gamma positivos).
Existe una segunda forma de valorar las opciones europeas: El fórmula de spanning de Carr y Madan (1998): $$V_E=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[f(S_T)]=e^{-rT}f(F_0) + \int_0^{F_0} f''(K) \text{Put}(K) \ \text{d} K + \int_{F_0}^{\infty} f''(K) \text{Call}(K) \ \text{d} K.$$ Dado un conjunto completo de precios para las opciones vainilla, ahora se puede fijar el precio de casi todas las funciones de pago integrables. Un ejemplo famoso sería el contrato logarítmico de Neuberger (1994): Supongamos que $\text{d}F_t=\sqrt{v_t}F_t\text{d}W_t$ . Entonces, por el Lemma de Ito, \begin{align} \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\ln\left(\frac{F_T}{F_0}\right)\right]=-\frac{1}{2}\mathbb{E}\left[\int_0^Tv_t\text{d}t\right]=-\left(\int_0^{F_0}\frac{\text{Put}(K)}{K^2}\text{d}K+\int_{F_0}^\infty \frac{\text{Call}(K)}{K^2}\text{d}K\right). \end{align} Obtendrás fórmulas similares si tu pago es $\sqrt{S}$ o $S^3$ . Y lo que es más importante, estas fórmulas son en su mayoría independientes del modelo.
Opciones americanas
Las opciones americanas son mucho más difíciles porque permiten ejercerlas en cualquier momento. Su valor viene dado por $$V_A=\sup_\tau\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r\tau}f(K,S_\tau)],$$ donde además se maximizan todas las políticas de ejercicio posibles (tiempos de parada) $\tau$ . Existen multitud de procedimientos numéricos para abordar este problema. Dos enfoques elegantes (dependiendo de la función de remuneración) son la aleatorización del vencimiento y la descomposición del ejercicio anticipado. Por ejemplo, una opción de compra americana vale
$$C_A = C_E + qS_0\int_0^Te^{-qt}\mathbb{Q}^1[\{S_t\geq B_t\}]\text{d}t - rK\int_0^T e^{-rt}\mathbb{Q}[\{S_t\geq B_t\}]\text{d}t,$$ donde $B_t$ es el límite óptimo de ejercicio (que puedes encontrar recusriamente). Podemos calcular las griegas de esta función de valor.
Opciones perpetuas
Las opciones perpetuas me parecen uno de los objetos más interesantes de las finanzas. Son una bestia completamente diferente porque no hay dependencia temporal (elíptica en lugar de parabólica en lenguaje de EDP). Hay varios enfoques para fijar el precio de las opciones perpetuas. Se pueden tomar opciones americanas y considerar el límite $T\to\infty$ o derivar el problema PDE correspondiente. Creo que lo siguiente es más elegante: Una llamada americana vale $V_A=\sup\limits_\tau \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r\tau}f(S_\tau,K)]$ . Este problema es equivalente a encontrar el límite óptimo de ejercicio temprano $B_t$ (``ejercer si $S_t>B_t$ ''). Para opciones perpetuas, $B_t\equiv B$ es constante (en un GBM). Por tanto, el valor de la opción es
$$V_\infty=\max_B \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r\tau_B}]f(B,K),$$ donde $\tau_B$ es la primera vez $S$ alcanza el umbral $B$ . Me gusta mucho el término $\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r\tau_B}]$ que parece un "factor de descuento esperado". Intuitivamente, el óptimo $B^*$ resuelve la disyuntiva entre una mayor retribución y un mayor factor de descuento. Matemáticamente, $\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{-r\tau_B}]$ es la transformada de Laplace de la función de densidad de $\tau_B$ . Si asumimos un modelo estocástico para $S$ podemos calcular esa expectativa de forma cerrada o aproximarla mediante simulaciones. El caso de las opciones de compra/venta y un movimiento browniano geométrico tiene una solución muy conocida.
