Determinar para qué precios e ingresos la restricción es vinculante.

Question

En qué condiciones empiezan a vincularse las restricciones y cómo encontrarlas

Estaba intentando resolver el siguiente problema de optimización:

$$ \mathscr{L} = x_1 x_2 + x_2 + \lambda(M-P_1 x_1-P_2 x_2) + \mu x_1$$

La cosa es que, como puedes ver, opero con $U = x_1 x_2 + x_2$ lo que implica que $x_1$ puede ser cero para que un problema ofrezca una solución interesante. Por eso he incluido el "no negatividad" condición para $x_1$ en la Lagrangiana. He realizado el Lagrangiano según el enfoque clásico y he obtenido los siguientes resultados:

\begin{align*} &(1) &&& &(2) \\ \mu &= 0 &&& \mu &>0 \\ x_1 &= \frac{M-P_1}{2 P_1} &&& x_1 &= 0 \\ x_2 &= \frac{M-P_1}{2P_2} + \frac{P_1}{P_2} &&& x_2 &=\frac{M}{P_2} \end{align*}

Estas son las exigencias para cada caso de $\mu$ ... Sin embargo, lo que me gustaría saber es ¿cuándo es pertinente cada caso? Para qué son relevantes los precios y la renta $(2)$ en lugar de $(1)$ etc...

La cosa es que durante el cálculo llegué a la siguiente condición (en caso de $\mu > 0$ ):

$$ x_2 + \mu = P_1 \frac{1}{2} $$

Sin embargo, al resolver gráficamente, había múltiples casos en los que $\mu>0$ y dependían tanto de los precios como de los ingresos.

¿Puedo saber a qué precios $\mu = 0$ y para cuáles $\mu > 0$ ? ¿Cómo puedo averiguar sistemáticamente para qué precios se aplica la restricción y para cuáles no, sin recurrir a una solución gráfica?

Answer 1

Para los problemas que implican restricciones de no negatividad, se resolvería el Lagrangiano habitual sin ellas y se comprobaría si la(s) variable(s) óptima(s) resulta(n) negativa(s) o no.

Si resultan negativos, los fijamos $= 0$ .

El Lagrangiano sería

$\mathcal{L} = x_1 x_2 + x_2 + \lambda (M - P_1 x_1 - P_2 x_2)$

Resolviendo esto se obtienen las demandas

$x_1^\star = \frac{M - P_1}{2 P_1}$

$x_2^\star = \frac{M + P_1}{2 P_2}$

Obsérvese la expresión para $x_1^\star$ puede ser negativo, esto ocurre cuando $P_1 > M$ .

Esto implica que si $P_1 \leq M$ las exigencias marshallianas son las $x_1^\star, x_2^\star$ que tenemos arriba.

Si $P_1 > M$ entonces establecemos $x_1^\star = 0$ .

Entonces obtenemos $x_2^\star = \frac{M}{P_2}$ .

Por cierto, tu método dio como resultado las demandas correctas para ambos casos.

En tu método, lo que harías es comprobar el caso en el que la restricción de no negatividad no es vinculante $(\mu = 0)$ .

Si no se infringe la restricción de no negatividad (la expresión para $x_1^\star$ no es negativo), esa es tu solución.

Si se infringe (la expresión para $x_1^\star$ es negativo), el otro caso es tu solución.