Curva lineal de Engel

Question

Cómo demostrar que si las curvas de Engel (gastos en función de la riqueza) son lineales en la riqueza, entonces la función de utilidad indirecta tiene la forma $v_{i}(p,a_{i})=\alpha_{i}(p)+\beta(p)a_{i}$ para un agente con función de utilidad $u_{i}$ ? Creo que la afirmación inversa es fácil utilizando la Identidad de Roy, pero ¿qué tal ésta? Gracias.

Answer 1

Creo que esta afirmación es falsa. La forma de Gorman es una condición suficiente para las curvas lineales de Engle, pero no es necesaria. Consideremos el siguiente ejemplo: $$v(p,a_i)=\beta(p)a_i^2$$ Aplicando el lema de Roy se obtienen demandas que siguen siendo lineales en $a$ .