Integral estocástica del proceso de Poisson

Question

Consideremos un proceso de Poisson (no homogéneo) $N_t$ con intensidad $\lambda_t$ . Entonces quiero calcular la siguiente integral

$\mathbb{E} \left(\int f(t,N_{t-}) d\tilde{N}_t\right)^2$

para alguna función suficientemente suave $f$ y $d\tilde{N}_t=dN-\lambda_t dt$ denota el proceso compensado.

¿Es cierto que

$$ \mathbb{E} \left(\int_0^t f(t,N_{t-}) d\tilde{N}_t\right)^2$$

$$= \mathbb{E} \int_0^t |f(t,N_{t-}) |^2 dN_t$$

$$= \mathbb{E} \int_0^t |f(t,N_{t-}) |^2 \lambda_t dt?$$

Si es así, ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Sea \begin{align*} X_t=\left(\int_0^t f(s,N_{s-}) d\tilde{N}_s\right)^2 \end{align*} y \begin{align*} Y_t = \int_0^t f(s,N_{s-}) d\tilde{N}_s. \end{align*} Por $\hat{\text{o}}$ para procesos de salto (véanse los corolarios 11.4.10 y 11.5.5 de este libro ), \begin{align*} X_t &= 2\int_0^t Y_s dY_s + [Y, Y]_t\\ &=2\int_0^t Y_s dY_s + \sum_{0<s \le t}f(s,N_{s-})^2 (\Delta N_s)^2\\ &=2\int_0^t Y_s dY_s + \sum_{0<s \le t}f(s,N_{s-})^2 \Delta N_s\\ &=2\int_0^t Y_s dY_s + \int_0^t f(s,N_{s-})^2 dN_s\\ &=2\int_0^t Y_s dY_s + \int_0^t f(s,N_{s-})^2 d\tilde{N}_s + \int_0^t f(s,N_{s-})^2 \lambda_s ds. \end{align*} Dado que ambos \begin{align*} \int_0^t Y_s dY_s \end{align*} y \begin{align*} \int_0^t f(s,N_{s-})^2 d\tilde{N}_s \end{align*} son martingalas, concluimos que \begin{align*} E\left(\int_0^t f(s,N_{s-}) d\tilde{N}_s\right)^2 = E\left(\int_0^t f(s,N_{s-})^2 \lambda_s ds\right). \end{align*}