Apalancamiento óptimo para una estrategia con rendimientos normales

Question

Dada una estrategia con rendimientos normales con media 5% y desviación típica 10% ¿cuál es el apalancamiento óptimo (hasta un máximo de 2x) para maximizar la riqueza esperada? Con la misma configuración, si la negociación se divide en 5 rondas, ¿cuál es el apalancamiento óptimo?

Con un enfoque de Monte Carlo, el apalancamiento óptimo parece ser el máximo permitido y eso también parece tener sentido intuitivamente.

Answer 1

Suponiendo que los rendimientos son compuestos, la estrategia óptima viene dada por:

/^2

Para su estrategia es 0,05/0,01 = 5x, pero debido a su restricción de un máximo de 2x, entonces elegiría 2x. Desde una base de primeros principios, la fórmula se deriva por:

1. Suponiendo que la variación del precio del activo, dS, viene dada por: dS = S * dt + S * dW

Dado que el apalancamiento, , es instantáneamente lineal para los rendimientos (+1% sobre apalancamiento 2x = 2%), los rendimientos apalancados vienen dados por:

* dS/S = * ( * dt + * dW)

2. En el caso continuo, los rendimientos logarítmicos vienen dados por: ln((S_t + dS)/S_t) = ( - ^2/2) * dt + * dW

El término '- ^2/2' procede del segundo término de la expansión en serie de Taylor de ln(x+1).

En el caso apalancado, el apalancamiento se eleva al cuadrado en el término de varianza, lo que significa que los rendimientos apalancados logarítmicos/compuestos continuamente vienen dados por:

( - ^2 ^2/2) * dt + * * dW

3. La rentabilidad apalancada esperada viene dada por: ( - ^2 ^2/2) * dt

Intuitivamente, se puede ver que si el apalancamiento o la varianza son demasiado altos, la rentabilidad esperada se vuelve negativa. Se puede diferenciar la función con respecto a :

dR_/d = ( - *^2)*dt

Ajuste a 0 para encontrar el máximo:

\= *^2

Resolviendo para :

/^2 =

Obsérvese que éste sólo es el apalancamiento óptimo cuando los rendimientos están definidos definitivamente por una distribución normal, sin error de muestreo de la media ni de la volatilidad. En los mercados, rara vez vemos que los rendimientos se definan globalmente por sus medias o varianzas a largo plazo (aunque, tal vez localmente sí lo hagamos con mediciones más frecuentes), y con una curtosis más alta y un sesgo distinto de cero, no es aconsejable apalancarse tanto como indicaría la fórmula. La mitad es una alternativa popular.