La denotación matemática de por qué cada licitador ofrece el valor esperado del 2º mejor postor en las subastas a primer precio.

Question

Microeconomía avanzada de Jehle y Reny (p431) contiene el siguiente teorema:

Y también estos comentarios:

Dado que FN-1(-) es la función de distribución del valor más alto entre los N - 1 competidores de un pujador, la estrategia de puja mostrada en Teorema 9.1 dice que cada licitador puja la expectativa del segundo licitador más alto. valor del segundo licitador más alto condicionado a que su propio valor sea el más alto. Pero, como los licitadores utilizan la misma puja estrictamente creciente de puja estrictamente creciente, tener el valor más alto equivale a tener la puja más alta y, por tanto, a tener el valor más alto. y, por tanto, a ganar la subasta. Por lo tanto, podemos decir En el único equilibrio simétrico de una subasta a sobre cerrado de primer precio, cada postor ofrece la expectativa del valor del segundo mejor postor condicionado a ganar la subasta.

No entiendo las matemáticas de esto. Me parece lógico que sólo pujes lo que esperas que valga el objeto del segundo mejor postor, pero no veo cómo la ecuación del teorema 9.1 te lleva a esa conclusión. ¿Podría alguien explicármelo? Por favor, tened en cuenta que no soy tan ducho en matemáticas como muchos de vosotros (si no, probablemente no necesitaría hacer este hilo), así que necesito que me lo expliquen paso a paso, si no os importa.

Answer 1

En primer lugar, supongamos $N-1$ valores de los licitadores $v_i$ se extraen independientemente de un intervalo, digamos $[0,1]$ según la fdc $F$ . Ahora arreglar algunos $x$ en este intervalo. ¿Cuál es la probabilidad $P(m\le x)$ que el máximo $m=\max_iv_i$ es como máximo $x$ ?

El máximo de los $v_i$ s es como máximo $x$ si todos los $v_i$ s son como máximo $x$ es decir, si $v_1\le x$ y $v_2\le x$ y ... $v_{N-1}\le x$ . Para cada $i$ tenemos que la probabilidad de que $v_i\le x$ es $P(v_i\le x)=F(x)$ por definición de $F$ . Por independencia, estas probabilidades deben multiplicarse para obtener la probabilidad total. Así, la probabilidad de que el máximo de los $v_i$ s es como máximo $x$ es $P(m\le x)=F^{N-1}(x)$ . Por lo tanto $F^{N-1}$ es la función de distribución de este máximo.

Ahora supongamos que su propio valor es $v$ . ¿Cuál es la probabilidad $P(win)$ que ganes la subasta? Para ello, el valor máximo de la otra $N-1$ licitadores tiene que ser inferior a $v$ . La probabilidad de que esto ocurra es $F^{N-1}(v)$ como acabamos de argumentar, así $P(win)=F^{N-1}(v)$ .

Ahora dejemos que $x\in[0,1]$ . ¿Cuál es la probabilidad $Q$ que (i) usted gane Y (ii) $m\le x$ ? Estos dos sucesos no son independientes, pero sabemos que se puede escribir de dos formas utilizando probabilidades condicionales, bien como $Q=P(win)P(m\le x|win)$ o como $Q=P(m\le x)P(win|m\le x)$ . Reordenando obtenemos el Teorema de Bayes para este caso, $P(m\le x|win)=P(m\le x)P(win|m\le x)/P(win)$ .

Supongamos ahora que $x<v$ . Entonces, por supuesto, (ii) ya implica (i), por lo que $P(win|m\le x)=1$ y la ecuación se simplifica a $P(m\le x|win)=P(m\le x)/P(win)$ . Sustituyendo los valores calculados anteriormente, $P(m\le x|win)=\frac{1}{F^{N-1}(v)}F^{N-1}(x)$ .

El lado izquierdo de esta ecuación es la función de distribución de la valoración del segundo mejor postor, condicionada a que usted gane la subasta. Lo que buscamos es su expectativa. Para ello, integramos todos los valores posibles de $x$ es decir, más de $[0,v]$ el producto de $x$ y el diferencial de la función de distribución. Haciendo esto en el lado derecho de la ecuación y sacando el factor $\frac{1}{F^{N-1}(v)}$ de la integral nos da finalmente la fórmula del libro.