Esta es la cuestión que intento abordar:
Supongamos que se nos da una función de utilidad $u$ con aversión relativa al riesgo $R_u$ . Demuestre que $R_u$ es constante e igual a $\rho$ si existe $\zeta\in\mathbb{R}$ y $\eta>0$ tal que $$ u = \zeta + \eta D_\rho $$ donde $$ D_\rho(w)=\begin{cases}\frac{w^{1-\rho}-1}{1-\rho},&\text{if }\rho\neq 1\\ \log(w),&\text{if } \rho=1\end{cases}$$ En resumen, no entiendo la exigencia de $\eta>0$ . Esta es mi solución hasta ahora:
La aversión relativa al riesgo se define como $$RRA=-w\frac{u''(w)}{u'(w)}$$ y requerimos \begin{align} RRA&=\rho\tag{1} \\ \frac{d}{dw}(RRA)&=0\tag{2} \end{align} Tenemos, \begin{align} \frac{d}{dw}(RRA) &= \frac{d}{dw}\Big(-wu''(u')^{-1}\Big)\\ &= -u''(u')^{-1} -w\Big(u'''(u')^{-1}-(u'')^2(u')^{-1}\Big) \end{align} De la condición (2), $$ u''+wu'''-w(u'')^2(u')^{-1}=0$$ Sustituyendo en la condición (1), $-wu''(u')^{-1} = \rho$ , \begin{align} u'' + wu''' + \rho u'' &=0\\ (-\rho-1)u'' &= wu'''\rightarrow u'' = \kappa w^{-\rho-1} \end{align} para una constante arbitraria $\kappa$ . Entonces \begin{align} u'&=\int \kappa w^{-\rho-1} dw\\ &= \eta w^{-\rho} + c \end{align} para algunas constantes arbitrarias $\eta$ y $c$ . Entonces \begin{align} u = \int \eta w^{-\rho}+c\text{ }dw = \begin{cases}\eta\frac{w^{1-\rho}}{1-\rho}+cw+C,&\text{if }\rho\neq 1\\ \eta\log(w)+cw+C,&\text{if } \rho=1\end{cases} \end{align} para una constante arbitraria $C$ . Claramente, la condición (1) requiere que $c=0$ es decir \begin{align} u &= \begin{cases}\eta\frac{w^{1-\rho}}{1-\rho}+C,&\text{if }\rho\neq 1\\ \eta\log(w)+C,&\text{if } \rho=1\end{cases} \end{align} Desde $C$ es arbitraria (es decir, nuestras dos condiciones se cumplen con cualquier $C$ ), podemos reescribirlo en la representación dada por la pregunta. Demostrando lo contrario, que la representación en la pregunta es suficiente para que se cumplan las dos condiciones, es trivial.
Mi pregunta es, ¿por qué requiere $\eta>0$ ? ¿Es un error en la pregunta o me estoy perdiendo algo?
