¿Son siempre las preferencias homotéticas separables aditivamente una transformación monótona de las preferencias CES?
En lenguaje técnico, la pregunta es la siguiente:
Sea $n>1$ y que $f:\mathbb{R}^n_{\ge 0}\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$ sea continuamente diferenciable, cóncava y homogénea de grado uno. Aquí, homogeneidad de grado uno significa que para todo $s\in\mathbb{R}_{\ge 0}$ y $x\in\mathbb{R}^n_{\ge 0}$ , $f(sx)=sf(x)$ .
Y supongamos que existen funciones monotónicas crecientes continuamente diferenciables $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$ y $h_1,\dots,h_n:\mathbb{R}_{\ge 0}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que para todo $x\in\mathbb{R}^n_{\ge 0}$ : $$f(x)=g(h_1(x_1)+\cdots+h_n(x_n)).$$
¿Debe darse el caso de que exista $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ y $\rho,b_1,\dots,b_n\in\mathbb{R}_{\ge 0}$ tal que para todo $i\in\{1,\dots,n\}$ , $h_i(x)=a_i+b_i \frac{x^{1-\rho}-1}{1-\rho}$ ? (Dónde, cuándo $\rho=1$ Entendemos por $h_i(x)=a_i+b_i\log(x)$ .)
Nota: Este artículo se publicó por primera vez en math.se aquí https://math.stackexchange.com/questions/4648187/homogeneous-of-degree-one-functions-that-are-a-monotonic-transformation-of-an-ad pero creo que aquí tengo más posibilidades de obtener una respuesta.
