¿Qué funciones de utilidad son equivalentes a las funciones aditivas?

Question

Llamar a una función de utilidad $u(x,y)$ aditivo si existen funciones $v_x,v_y$ tal que: $$u(x,y)=v_x(x)+v_y(y)$$

Considere la función $u(x,y)=xy$ . No es aditivo, pero, puede transformarse utilizando una transformación positiva-monotónica (PMT) a la función: $u'(x,y)=\log u(x,y) = \log{x}+\log{y}$ y la función $u'$ es aditivo.

Mi pregunta es: ¿qué condiciones en una función $u(x,y)$ ¿garantizar que se puede transformar mediante una PMT a una función aditiva?

Es decir, si veo una función $u(x,y)$ ¿cómo puedo saber si representa una relación de preferencia que también puede ser representada por una función de utilidad aditiva?

Answer 1

Ted Bergstrom ha Notas de clase sobre las preferencias separables que parecen tener lo que usted busca. Por ejemplo:

¿Cuándo las preferencias son aditivamente separables?

La condición necesaria y suficiente más útil para que las preferencias sean aditivamente separable es que cada subconjunto del conjunto de todas las mercancías sea separable. Las pruebas que conozco de esta proposición son un poco más más elaboradas de lo que parece apropiado aquí. Una versión algo más general Una versión algo más general de este teorema se puede encontrar en un artículo de Gerard Debreu (Topological methods in cardinal utility). El trabajo de Debreu parece ser la primera solución satisfactoriamente general a este problema. Se pueden encontrar otras pruebas en (Foundations of Measurement) y (Utility theory for decision making).

Answer 2

Si y sólo si (Si $(x1, x2)R(y1, y2)$ y $(y1, z2)R(z1, x2)$ , entonces $(x1, z2)R(z1, y2)$ ) entonces con una dos buenas funciones, entonces las variables son separables. Por lo tanto, son separables de forma aditiva. Este es el teorema de Debreu.