¿Cuál es un ejemplo de función de utilidad en la que la proporción de uno llega a cero?

Question

Me gustaría un ejemplo de una función de utilidad con 2 bienes donde la proporción de uno va a cero (y la del otro va a uno). Estoy pensando en un problema en el que el hogar recibe una dotación y y tiene que dividirla en dos bienes $(x_1,x_2)$ . Así que lo que quiero es:

$U(x_1,x_2)$

tal que la restricción bugdet (real) es $x_1+x_2=y$

et $\lim_{y\rightarrow \infty} \frac{x_1}{y} \rightarrow 0$ et $\lim_{y\rightarrow \infty} \frac{x_2}{y} \rightarrow 1$ Donde ambos $x_1$ et $x_2$ son bienes normales y $x_1>0$ et $x_2>0$ en la asignación óptima.

¿Podría alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Consideremos una función de utilidad casi lineal: $u(x_1,x_2)=2\sqrt{x_1}+x_2$

Aquí la demanda de $x_1$ es $x_1^d = \min(y, 1)$ y la demanda de $x_2^d = \max(0, y-1)$ . Claramente, $\lim_{y\rightarrow\infty} \frac{x_1^d}{y} = \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{1}{y} = 0$ y $\lim_{y\rightarrow\infty} \frac{x_2^d}{y} = \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{y-1}{y} = 1$ . Además, ambas funciones de demanda son funciones no decrecientes de $y$ . Aunque no satisface $x_2^d > 0$ para todos $y>0$ pero me pareció un ejemplo digno de mención.

Para ver cómo hallar la demanda de utilidad cuasilineal, consulte esta respuesta: https://qr.ae/pGJuvH

Otro ejemplo "no estándar Cobb Douglas" de una función de utilidad es: $u(x_1,x_2;y) = x_1x_2^y$ . Tenga en cuenta que se trata de un modelo de consumo no estándar en el que la renta entra directamente en la función de utilidad de un individuo. En este caso, la demanda de $x_1$ es $x_1^d = \frac{y}{1+y}$ y la demanda de $x_2^d = \frac{y^2}{1+y}$ . Claramente, $\lim_{y\rightarrow\infty} \frac{x_1^d}{y} = \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{1}{1+y} = 0$ y $\lim_{y\rightarrow\infty} \frac{x_2^d}{y} = \lim_{y\rightarrow\infty} \frac{y}{1+y} = 1$ . Además, ambas funciones de demanda son funciones crecientes de $y$ .

Answer 2

$U(x_1,x_2)=\min\{x_1^2,x_2\}$ .