Estoy empezando a enseñarme finanzas cuantitativas y tengo varias dudas ( marcado en negrita ) relativa a la cartera de réplica de un valor en el modelo binomial. Estoy siguiendo, entre otros, el libro clásico " Cálculo estocástico para finanzas I: El modelo binomial de valoración de activos ".
En primer lugar, empezaré con algo de notación para que no haya confusiones. Como siempre $d$ , $u$ , $r$ son el factor a la baja, el factor al alza y el tipo de interés sin riesgo, respectivamente, verificándose que $d < 1 + r < u$ . Entonces, si $V_{n}$ , $0 \leq n \leq N$ es el valor en el momento $n$ de un valor que tiene un único pago $V_N$ en la madurez, sabemos que el proceso descontado $\dfrac{V_n}{(1+r)^n}$ es una martingala bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo $\widetilde{\mathbb{P}}$ donde la probabilidad de que salga cara es $p := \dfrac{1+r-d}{u-d}$ y así podemos calcular fácilmente el valor de cada $V_n$ vía
$$V_{n} = \widetilde{E}_{n}\Big(\frac{V_{N}}{(1+r)^{N-n}}\Big).$$
Si $d = d_{n}$ , $u = u_{n}$ y $r = r_{n}$ no son números constantes sino un proceso estocástico adaptado, el resultado es el mismo pero ahora el proceso descontado viene dado por $\dfrac{V_n}{(1+r_{0})·\dots·(1+r_{n-1})}$ y la fórmula de valoración neutral del riesgo sigue siendo válida siempre que
$$ \widetilde{\mathbb{P}}(w_{n+1} = H|w_{1},\dots,w_{n}) := p_{n} := \dfrac{1+r_n-d_n}{u_n-d_n}, $$
$$ \widetilde{\mathbb{P}}(w_{n+1} = T|w_{1},\dots,w_{n}) = 1- p_{n}. $$
Para demostrar el resultado anterior, se suele construir la siguiente cartera: supongamos que $V$ es, por ejemplo, una llamada europea. Empieza por $X_{0}$ riqueza, comprar $\Delta_{0}$ acciones del subyacente, e invertir (o pedir prestado) el dinero restante al tipo sin riesgo $r$ . En el momento $1$ , vender la cartera y reinvertir el dinero siguiendo la misma estrategia. En el momento $n+1$ el valor de la cartera de réplica viene dado por
$$X_{n+1} = \Delta_{n}S_{n+1} + (1+r)(X_{n}-\Delta_{n}S_{n}).$$
Ahora que la notación está clara, mi primera pregunta es la siguiente
1) ¿Es necesario replicar el valor derivado utilizando el valor subyacente? $S$ ? Conozco las ventajas de cobertura de combinar un derivado y su subyacente, pero dado que aquí el objetivo es construir una cartera replicante, ¿podría construirse operando con otro valor? ¿Cuáles son las ventajas de utilizar el subyacente frente al resto de valores? La única ventaja que veo es que sólo hay que modelizar los precios de un valor.
Supongamos ahora que queremos fijar el precio de los bonos cupón cero utilizando el modelo binomial. Supongamos que los tipos de interés forman un proceso estocástico adaptado, de tal manera que 1 dólar invertido en el momento $n$ produce $(1+r_{n})$ a la vez $n+1$ . Sea $B_{n,m}$ sea el valor en el momento $n$ de un bono cupón cero que paga $1$ dólar en el momento $m$ . Como en este caso también se aplica la fórmula de fijación neutral del precio del riesgo, podemos concluir fácilmente que $$B_{n,m} = \widetilde{E}_{n}\Big(\frac{1}{(1+r_{n})·\dots·(1+r_{m-1})}\Big).$$ Sin embargo, aquí va otra pregunta:
2) ¿Cómo se construiría una cartera de réplica en este caso? ¿En qué valores tiene sentido operar?
Por último, veo que en el libro que menciono al principio, se construye un proceso de cartera operando en los bonos cupón cero y en el mercado monetario a través de la siguiente ecuación: 
donde $\Delta_{n,m}$ es el número de bonos cupón cero de vencimiento $m$ en poder del inversor entre momentos $n$ et $n+1$ . Entiendo que este proceso de cartera, debidamente descontado, es una martingala, y por tanto no puede haber arbitraje cuando se opera en los bonos cupón cero y en el mercado monetario. Mi última pregunta es:
3) ¿Cómo se relaciona esta fórmula con la prueba de que $B_{n,m} = \widetilde{E}_{n}\big(\frac{1}{(1+r_{n})·\dots·(1+r_{m-1})}\big)$ ?
Si algunas de mis preguntas no son lo suficientemente claras, por favor, hágamelo saber. Muchas gracias.
