Supongamos que un vendedor tiene dos bienes indivisibles distintos, el bien $A$ y bueno $B$ en venta. Para simplificar, suponemos que el vendedor valora los bienes en cero y es neutral al riesgo, de modo que busca maximizar sus ingresos esperados. En este modelo hay un comprador. Los parámetros $v_A$ y $v_B$ indican la disposición a pagar del comprador por los dos bienes. El comprador conoce estos parámetros, pero el vendedor no. La creencia del vendedor sobre estos dos parámetros viene dada por la distribución uniforme $F$ sobre el cuadrado unitario $[0,1]^2$ . Tenga en cuenta que aquí suponemos que $v_A$ y $v_B$ son estocásticamente independientes. Suponemos que el vendedor ofrece tres precios: $p_A, p_B$ y $p_{A B}$ . La interpretación es que el comprador puede adquirir el bien $A$ al precio $p_A$ Bien. $B$ al precio $p_B$ o mercancías $A$ y $B$ al precio $p_{A B}$ . Suponemos que el vendedor no puede impedir que el comprador adquiera bienes $A$ y $B$ al precio $p_A+p_B$ por lo que el precio $p_{A B}$ para que surta efecto, debe cumplir los siguientes requisitos $p_{A B} \leq p_A+p_B$ . ¿Cuál es la elección óptima de $p_A, p_B$ y $p_{A B}$ ?
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Quizá haya una solución elegante, pero el problema es lo bastante sencillo como para razonar gráficamente. En el caso de que $$ 0 \leq p_A,p_B \leq 1 $$ y $$ p_{AB} \leq p_A + p_B $$ tenemos algo como esto:
En el $(v_A,v_B)$ sistema de coordenadas, la zona verde muestra dónde el comprador obtiene el mayor excedente al comprar $A$ por lo que $$ v_A + v_B - p_{AB} \leq v_A - p_A \text{ and } 0 \leq v_A - p_A. $$ La zona azul muestra dónde compra el comprador $B$ sólo, y en la zona roja compran ambos productos. Como las distribuciones de probabilidad son independientes y uniformes, las probabilidades son proporcionales a estas áreas, por lo que se pueden obtener como fórmulas no muy complicadas de $p_A,p_B,p_{AB}$ . A continuación, puede esbozar el beneficio esperado $$ P(A \text{ only}) p_A + P(B \text{ only}) p_B + P(A \text{ and } B) p_{AB}, $$ y maximizarlo en función de los precios. El problema es que estas fórmulas geométricas sólo son válidas cuando se cumplen las restricciones anteriores, de lo contrario hay que replanteárselas, y potencialmente podría haber muchos casos; aunque mi conjetura es que la solución real se encuentra dentro de las restricciones anteriores.
Se trata de un problema clásico en economía conocido como el problema de "vender a dos compradores". Para encontrar la elección óptima de precios, tenemos que considerar los distintos escenarios posibles que pueden plantearse.
Escenario 1: El comprador sólo quiere el bien A En este escenario, el comprador está dispuesto a pagar vA por el bien A, pero no está interesado en comprar el bien B. Los ingresos del vendedor en este escenario son pA. Para maximizar los ingresos, el vendedor debe fijar pA=vA.
Escenario 2: El comprador sólo quiere el bien B En este escenario, el comprador está dispuesto a pagar vB por el bien B, pero no está interesado en comprar el bien A. Los ingresos del vendedor en este escenario son pB. Para maximizar los ingresos, el vendedor debe fijar pB=vB.
Escenario 3: El comprador desea ambos bienes, A y B, y está dispuesto a pagar por separado por cada uno de ellos. En este escenario, el comprador está dispuesto a pagar vA por el bien A y vB por el bien B. Los ingresos del vendedor en este escenario son pA+pB. Para maximizar los ingresos, el vendedor debe fijar pA=vA y pB=vB, ya que el comprador no estará dispuesto a pagar más que sus valoraciones por cada bien por separado.
Escenario 4: El comprador desea ambos bienes, A y B, y sólo está dispuesto a pagar un precio global En este escenario, el comprador está dispuesto a pagar un total de vA+vB por los bienes A y B juntos, pero no está dispuesto a pagar por separado por cada bien. Los ingresos del vendedor en este caso son pAB. Para maximizar los ingresos, el vendedor debe fijar pAB=vA+vB, ya que el comprador no estará dispuesto a pagar más que su valoración por el paquete.
Por tanto, la elección óptima de los precios depende de la disposición del comprador a pagar por cada bien por separado o conjuntamente. Si el comprador está dispuesto a pagar por separado, el vendedor debe fijar precios para cada bien iguales a las valoraciones del comprador. Si el comprador sólo está dispuesto a pagar un precio conjunto, el vendedor debe fijar el precio conjunto igual a la suma de las valoraciones del comprador. Si el comprador está dispuesto a pagar tanto por separado como conjuntamente, el vendedor debe fijar precios para cada bien iguales a las valoraciones del comprador y ofrecer un precio conjunto igual a la suma de las valoraciones del comprador.
