En realidad, ambos enfoques coexisten.
Tengo que conocer las preferencias de los consumidores
Históricamente, los bienes agregados se definían como los que aparecen en la función de utilidad (siempre que ésta se produzca). El principal inconveniente de este planteamiento fue puesto pronto de manifiesto por Pu (1946, p.299): "Si se sigue estrictamente este criterio, se encontrará en la mayoría de los casos que, o bien no se pueden encontrar agregados que cumplan este criterio, o bien, en el caso de que este criterio se satisfaga mediante la manipulación de la construcción de agregados, los agregados se convertirán en monstruos tales que carecerán por completo de significado económico".
Tengo que conocer las preferencias de los consumidores
En cambio, otros economistas dan por sentada la definición económica o estadística dada del bien o precio agregado, y construyen funciones de utilidad (o producción) agregadas como $$ V(x_1,\textbf{x}_2) = \max_{x_2} \{ U(x_1,x_{21},x_{22},..,x_{2K}) : a(x_2)=\mathbf{x}_2 \}, $$ donde la expresión del agregador $a: \mathbb{R}^K \rightarrow \mathbb{R}$ así como su valor $\mathbf{x}_2$ . Para una contribución con este enfoque, véase Blackorby y Schworm (1988). (Obsérvese que, en general, la solución óptima $x_2^*(\mathbf{x}_2)$ no es única, sino que es una relación multivaluada). Con la cantidad agregada es $\mathbf{x}_2$ el precio correspondiente podría ser $\mathbf{p}_2 = \sum_k p_{2k}x_{2k} /\mathbf{x}_2$ . (Esto no es totalmente compatible con su $P_y$ a menos que se divida por $y$ para garantizar que $P_yy=P_2x_2+P_3x_3.$ )
Un tercer enfoque de esta literatura considera explícitamente los errores de agregación y sustituye todos los bienes (o precios) elementales por sus homólogos agregados y un término de error: $x_{2k}=\textbf{x}_2\rho_{2k}$ por lo que la función de utilidad (producción) se convierte en: $$ W(x_1,\textbf{x}_2;\rho) = U(x_1,x_{21},x_{22},\ldots,x_{2K}) = U(x_1,\textbf{x}_2\rho_{21},\ldots,\textbf{x}_2\rho_{2K}), $$ donde el vector $\rho$ denota la cuota de cada bien elemental en el agregado: $$ \rho = (x_{21},x_{22},\ldots,x_{2K}) / \textbf{x}_2. $$ Restricciones en las distribuciones de los factores no observados $\rho$ son útiles para conseguir algunas propiedades interesantes en las funciones de oferta y demanda agregadas. Véase por ejemplo Lewbel (1996) para una contribución con este enfoque.
Blackorby, Charles, y William Schworm. "The Existence of Input and Output Aggregates in Aggregate Production Functions". Econometrica vol. 56, no. 3, 1988, pp. 613-43.
Lewbel, Arthur. "Agregación sin separabilidad: A Generalized Composite Commodity Theorem". The American Economic Review vol. 86, no. 3, 1996, pp. 524-43.
Pu, Shou Shan. "Una nota sobre macroeconomía". Econometrica vol. 14, no. 4, 1946, pp. 299-302.
