El problema exacto que intento resolver es el siguiente. Tengo una especificación Probit:
$$ P_t = \Phi(\beta^T x_t) $$
donde $\Phi$ es una FDA normal estándar y $x$ es una matriz de variables independientes medidas en el momento $t$ . $P$ es la probabilidad de éxito.
Intento calcular el efecto marginal del cambio en cada $x$ sobre la probabilidad. Formalmente:
Tengo dos estimaciones estimadas en distintos momentos: $$ P_t = \Phi(\beta^T x_t) \quad ... (1)$$ y $$ P_{t+1} = \Phi(\beta^T x_{t+1}) \quad ... (2)$$
Quiero obtener el impacto ponderado de cada cambio en $x$ es decir $\Delta x = x_{t+1}-x_t$ sobre la diferencia en la probabilidad de éxito $\Delta P = P_{t+1} - P_t$ . En la regresión lineal simple, esto es fácil, ya que el impacto marginal era el coeficiente multiplicado por el cambio absoluto de la variable.
Ya he intentado calcular el efecto de la probabilidad marginal:
$$\frac {\partial P_t} {\partial x_{it}} = \beta_i \phi(\beta^T x_t)$$
y luego tomar una simple diferencia: $$\frac {\partial P_{t+1}} {\partial x_{i \ t+1}} x_{t+1}- \frac {\partial P_t} {\partial x_{it}} x_t$$ donde $\phi$ es la PDF normal estándar. Sin embargo, el problema de este enfoque es que el efecto marginal es una función de cada variable independiente. Supongamos que $x_{it} = x_{i \ t+1}$ entonces el impacto marginal sería distinto de cero si cualquier otro $x_j$ cambiado. Intuitivamente debería ser cero, ya que el conductor no ha cambiado en absoluto.
Agradecería cualquier información o fuente. Gracias de antemano.
