Costes marginales de la regresión Cobb Douglas

Question

Actualmente estoy cursando un máster en finanzas y tenemos que calcular el índice de Lerner.

Para ello, se nos da la siguiente regresión Cobb-Douglas, en la que las alfas tienen que sumar 1:

$$\ln(TC) = c_{0} + \alpha \ln(P_{L}) + (1-\alpha )\ln(P_{k})+\beta \ln(TA) + \varepsilon$$

Para el índice de Lerner, necesitamos los costes marginales. Según nuestro profesor, podemos calcular estos costes con la fórmula $\beta$ de $\ln(TA)$ . Sin embargo, dice que tenemos que convertir esta beta en costes marginales porque, si utilizáramos esta beta, todas las empresas tendrían exactamente los mismos costes marginales. ¿Cómo se puede hacer esto?

Answer 1

El índice de Lerner es una medida del poder de mercado que puede calcularse como la diferencia entre el precio y el coste marginal, dividida por el precio:

$$L = (P - MC) / P$$

Para calcular el índice de Lerner, necesitamos estimar el coste marginal de producción, que es el coste de producir una unidad adicional de producción.

Para calcular el coste marginal utilizando la ecuación de Cobb-Douglas en la forma que nos ha proporcionado, primero tenemos que obtener la expresión de la función de coste total ( $TC$ ) de la ecuación. Tomando la exponencial de ambos lados de la ecuación, tenemos:

$$TC = e^{c_0} P_L^\alpha P_k^{1-\alpha} \text{TA}^\beta e^\epsilon$$

donde $e$ es la constante matemática $e \approx 2.718$ .

Para obtener el coste marginal, hay que tomar la derivada parcial de la función de coste total con respecto a la cantidad de producción ( $Q$ ), suponiendo que la empresa es un tomador de precios en el mercado y, por tanto, se enfrenta a un precio de mercado constante ( $P$ ).

La expresión del coste marginal viene dada por:

$$MC = \frac{\partial TC}{\partial Q}$$

es una fórmula general que se aplica a cualquier función de producción. Nos dice que el coste marginal es la derivada del coste total con respecto a la cantidad de producción.

Sin embargo, en el caso concreto de la función de producción Cobb-Douglas que estamos considerando, podemos sustituir la expresión del coste total en términos de $Q$ , $P_L$ , $P_k$ y $\text{TA}$ que es:

$$TC = e^{c_0} P_L^\alpha P_k^{1-\alpha} \text{TA}^\beta e^\epsilon$$

y, a continuación, utilizar la regla de la cadena de diferenciación para hallar las derivadas parciales del coste total con respecto a los insumos $P_L$ , $P_k$ y $\text{TA}$ :

$$\frac{\partial TC}{\partial P_L} = \alpha e^{c_0} P_L^{\alpha - 1} P_k^{1 - \alpha} \text{TA}^\beta e^\epsilon$$

$$\frac{\partial TC}{\partial P_k} = (1-\alpha) e^{c_0} P_L^{\alpha} P_k^{-\alpha} \text{TA}^\beta e^\epsilon$$

$$\frac{\partial TC}{\partial \text{TA}} = \beta e^{c_0} P_L^{\alpha} P_k^{1-\alpha} \text{TA}^{\beta - 1} e^\epsilon$$

Sustituyendo estas derivadas parciales en la expresión del coste marginal, obtenemos:

$$MC = \frac{\partial TC}{\partial Q} = \frac{\partial TC}{\partial P_L} \frac{\partial P_L}{\partial Q} + \frac{\partial TC}{\partial P_k} \frac{\partial P_k}{\partial Q} + \frac{\partial TC}{\partial \text{TA}} \frac{\partial \text{TA}}{\partial Q}$$

Dado que suponemos que la empresa es un comprador de precios y se enfrenta a un precio de mercado constante $P$ podemos utilizar la función de producción para expresar $Q$ en función de los precios de los insumos y la tecnología como:

$$Q = \left(\frac{P}{e^{c_0}}\right)^{1/(1-\alpha-\beta)} \frac{P_L^\alpha}{\text{TA}^\beta} \frac{P_k^{1-\alpha}}{\text{TA}}$$

Podemos entonces utilizar esta expresión para obtener las derivadas parciales con respecto a $Q$ :

$$\frac{\partial P_L}{\partial Q} = \frac{\alpha}{Q P_L}$$

$$\frac{\partial P_k}{\partial Q} = \frac{1-\alpha}{Q P_k}$$

$$\frac{\partial \text{TA}}{\partial Q} = -\frac{\beta}{Q \text{TA}}$$

Sustituyendo las expresiones obtenidas anteriormente para $\frac{\partial P_L}{\partial Q}$ , $\frac{\partial P_k}{\partial Q}$ y $\frac{\partial \text{TA}}{\partial Q}$ en la expresión del coste marginal, obtenemos:

$$MC = \frac{\partial TC}{\partial Q} = \frac{\alpha}{P_L} TC + \frac{1-\alpha}{P_k} TC + \frac{\beta}{\text{TA}} TC$$

donde hemos sustituido las derivadas parciales por las expresiones que derivamos anteriormente.

Simplificando, obtenemos:

$$MC = TC \left[\frac{\alpha}{P_L}\left(\frac{P_k}{P}\right)^{1-\alpha} + \frac{1-\alpha}{P_k}\left(\frac{P_L}{P}\right)^{\alpha} + \beta \frac{1}{\text{TA}}\right]$$

donde hemos utilizado el hecho de que el precio de mercado es igual a los ingresos medios de la empresa ( $P = TR/Q = TC/Q$ ), y hemos multiplicado y dividido los dos primeros términos por $P$ para obtener expresiones que impliquen únicamente los precios relativos del trabajo y del capital.

Esta expresión muestra que el coste marginal de la empresa depende de los precios relativos del trabajo y del capital, de la parte de cada insumo en la función de producción y del nivel tecnológico. El término entre paréntesis representa la elasticidad inversa de la combinación de insumos con respecto al precio relativo de la mano de obra, que mide la sensibilidad de la combinación de insumos de la empresa a los cambios en los precios relativos de la mano de obra y el capital.

algún código para simular una industria vinícola de lujo (obtenemos alrededor de 0,6 de índice de lerner)

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# Define the number of observations
n = 1000

# Define the prices and total assets
price_labor = np.random.uniform(low=20, high=30, size=n)
price_capital = np.random.uniform(low=10, high=20, size=n)
price_product = np.random.uniform(low=30, high=50, size=n)
total_assets = np.random.uniform(low=1000, high=5000, size=n)

# Define the coefficients for the Cobb-Douglas production function
alpha = 0.4
beta = 0.3
gamma = 0.3

# Calculate the total cost using the Cobb-Douglas production function
total_cost = (
    gamma
    * (price_labor**alpha)
    * (price_capital ** (1 - alpha))
    * (total_assets**beta)
)

# Calculate the marginal cost using the expression you provided
marginal_cost = total_cost * (
    (alpha / price_labor) * ((price_capital / price_product) ** (1 - alpha))
    + ((1 - alpha) / price_capital) * ((price_labor / price_product) ** alpha)
    + beta * (1 / total_assets)
)

# Calculate the Lerner index using the Cobb-Douglas regression model
X = sm.add_constant(
    np.column_stack((np.log(price_labor), np.log(price_capital), np.log(total_assets)))
)
y = np.log(total_cost)
model = sm.OLS(y, X)
result = model.fit()

lerner_index = np.mean((price_product - marginal_cost) / price_product)
print(f"The Lerner index is {lerner_index:.2f}")