Término restante en aproximaciones lineales que van a 0

Question

Varias pruebas de optimización utilizan la idea de que el término restante de la diferencial o de la aproximación de Taylor es cero. Por ejemplo:

1. Algunas pruebas de teoremas envolventes:.
2. Necesidad y suficiencia de FOC y SOC en las pruebas de optimización.

Me cuesta entender que el término restante sea 0 como se explica a continuación.

1) Eliminando el término restante de la diferencial

Utilizado en un prueba del teorema de la envolvente :

Supongamos que tenemos una función de restricción $G(\mathbf{(x(), )} =b$

El diferencial para $G$ cuando $ _$ cambios es:

$G = \sum_{j=1}^{n}[\frac{\partial{G}}{\partial{x_j}}x_j] + \frac{\partial{G}}{\partial{_i}}_i +R = 0$ Donde R es nuestro término resto:

Luego dividiendo por $_i$ y tomando la $\lim \limits_{_i \to 0}$ obtenemos:

$\lim \limits_{_i \to 0} \frac{G}{_i} = \lim \limits_{_i \to 0} \sum_{j=1}^{n}[\frac{\partial{G}}{\partial{x_j}}\frac{x_j}{_i}] + \frac{\partial{G}}{\partial{_i}} +\frac{R}{_i} = 0$

• Pregunta: ¿Cómo lo demuestro? $\lim \limits_{_i \to 0} \frac{R}{_i} = 0$

Entiendo por qué R iría a 0. Porque a medida que el cambio se acerca a 0 entonces $f(x) = P(x)$ Dónde $P(x)$ es nuestro polinomio de Taylor, y por tanto la diferencia $R(x)$ llega a 0.

Pero entonces, ¿no tenemos $\frac{0}{0}$ y no se como resolverlo en este caso?

2) Eliminación del término restante del polinomio de Taylor de segundo orden

He visto esto escrito como Teorema de Taylors He visto que esto se utiliza para probar la necesidad y suficiencia de FOC y SOC.

Si definimos $R_2(x) = f(x) - P_2(x)$ donde $P_2(x)$ es el polinomio de Taylor de segundo orden en torno a $a$ .

• Pregunta: ¿Cómo lo demostramos? $\lim \limits_{x_i \to 0} \frac{R_2(x)}{(x)^2} = 0$

Definición de $x = x - a$ Mi mejor esfuerzo hasta ahora para ampliar $f(x)$ y $P_2(x)$ , obtenemos:

$\lim \limits_{x_i \to 0} [\frac{f'(a)}{x} - \frac{f'(a)}{x} - \frac{1}{2}f''(a)]$ = $- \frac{1}{2}f''(a)$ = $- \frac{1}{2}f''(x) 0$

Si alguien me puede ayudar con esto me resolvería muchos enigmas. Ampliando a $\mathbb{R^n}$ y otros casos generalizados que luego debería poder hacer yo mismo, ¡gracias!

Answer 1

• Pregunta: ¿Cómo lo demuestro? $\lim \limits_{_i \to 0} \frac{R}{_i} = 0$

[...]

• Pregunta: ¿Cómo lo demostramos? $\lim \limits_{x_i \to 0} \frac{R_2(x)}{(x)^2} = 0$

Como se desprende de sus preguntas, hay que demostrar no sólo que los restos $R_1$ ou $R_2$ van a cero, pero el relación entre los restos y $(\Delta x) ^2$ ou $\Delta \theta$ llega a cero .

Eso es, el resto $R_n$ en la fórmula de Taylor es un infinitésimo de mayor orden con respecto a $(\Delta x)^n$ . Este es el teorema importante que hay que demostrar con respecto a la fórmula de Taylor.

Intuitivamente, esto significa que el resto $R_n$ de un polinomio de Taylor de orden $n$ , $^1$ llega a cero más "rápidamente" que $(\Delta x)^n$ .

Por lo tanto, no basta con demostrar que $R_n$ llega a cero, porque puede llegar a cero "lentamente", de modo que la relación $\frac {R_n}{\Delta x} \nrightarrow 0$ .

Esto es importante, ya que un polinomio de Taylor es una aproximación de la función en un punto: por ejemplo, intuitivamente, si cuando $\Delta x$ es muy pequeño el resto es muy alto, no tenemos una buena aproximación.

Como bien ha notado, esta proporción, como $\Delta x \rightarrow 0$ es la forma indeterminada $0/0$ . Por lo tanto, la prueba utiliza la regla de L'Hôpital .

A continuación te doy una demostración que supone que las derivadas de la función son continuas, pero existe una demostración similar para el caso general. $^2$

$$***$$

TEOREMA: FÓRMULA DE TAYLOR . - Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función y las derivadas $f^{(n)}$ existen y son continuas en un punto $x_0$ .

Tenemos

$$f(x)= \sum_{k=0}^{n}\frac { f^{(k)}(x_0)} {k!}(x-x_o)^k+R_n(x) \qquad (1)$$

y

$$\lim _{x\rightarrow x_0} \frac {R_n(x)}{(x- x_0)^n}=0 \qquad (2).$$

PRUEBA.

Según la definición de $R_n$ debemos demostrarlo:

$$\lim _{x\rightarrow x_0} \frac {f(x) -[f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)+ ...+f^{(n)} (x_0)(x-x_0)^n/n!]}{(x- x_0)^n}=0 \qquad (3)$$

Ahora usamos la regla de l'Hôpital. La derivada respecto a $x$ por lo que la derivada de $f(x_0)$ es cero, mientras que la derivada de $\frac {f^{(n)}(x-x_0) ^n}{n!}$ es

$$ \frac {f^{(n)}(x_0)n (x-x_0) ^{n-1}}{n!}= \frac {f^{(n)}(x_0) (x-x_0) ^{n-1}}{(n-1)!}\qquad (4)$$

Por lo tanto, el límite $(3)$ , habiendo aplicado l'Hôpital, es lo mismo que

$$\lim _{x\rightarrow x_0} \frac {f'(x) -[f'(x_0) + ...+f^{(n)} (x_0)(x-x_0)^{n-1}/(n-1)!]}{n(x- x_0)^{n-1}}. \qquad (5)$$

Si $n>1$ tenemos de nuevo una forma indeterminada $0/0$ . Después de aplicar $n$ veces la regla de l'Hôpital, tenemos:

$$\lim _{x\rightarrow x_0} \frac {f^{(n)} (x)-f^{(n)} (x_0)}{n!} \qquad (6).$$

Este último límite es cero, ya que $f^{(n)} (x)$ es continua, por hipótesis, en $x_0$ .

$\Box$

Si se lee la prueba con un $n$ es demasiado engorroso, puede releer el método de la prueba con $n=2$ .

---

$^1$ Este resultado es válido para cualquier orden $n$ del polinomio de Taylor.

$^2$ Puedes encontrar esta demostración y la teoría general del polinomio de Taylor en un buen libro de cálculo/texto de pregrado de análisis matemático.