¿Cómo se obtiene la varianza en BS?

Question

La varianza realizada bajo Black Scholes clásico donde el proceso del precio de la acción sigue un GBM viene dada como $$V_T = \frac1T\int_0^T\sigma_s^2ds\qquad (1)$$ Sin embargo, los textos que he estado leyendo no dan una derivación de este hecho. Además, se afirma que en el caso del modelo de difusión por saltos de Merton, el término $(1)$ debe añadirse a $$\frac1T\sum_{i=1}^{N(T)}\ln(Y_i)^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\qquad (2)$$

donde $N(T)\sim\text{Poisson}(\lambda)$ y $Y_i$ denota el tamaño relativo del salto en el precio de las acciones. Mi planteamiento ingenuo para deducirlo fue hallar la varianza en el $\log$ proceso (dinámico). De este modo, el precio logarítmico se convierte en una suma de variables aleatorias normales y, por tanto, también es una variable normal (podemos sumar varianzas, sin correlación). Para hallar la varianza de los 2 procesos aleatorios (difusión y salto), mi idea era aplicar la Isometría de Ito. Sin embargo, al hacerlo no puedo recuperar la $1/T$ en ambos $(1)$ y $(2)$ .

Lo que me pregunto es si este procedimiento es correcto. ¿Cómo puedo incorporar el promedio sobre $T$ ?

Answer 1

Supongamos una entrada de volatilidad plana (tanto en strike como en tiempo), $\sigma$ . Entonces, la varianza que un GBM acumula de $t_0$ hasta el momento $t_1$ es $$ \text{Var}(t_0, t_1) = \sigma_{t_0}^2 (t_1 - t_0). $$ Consideremos ahora la volatilidad del tiempo $t_1$ a $t_2$ cambios en $\sigma_{t_1}$ como un GBM tiene incrementos independientes, la varianza de $t_1$ a $t_2$ es $$ \text{Var}(t_1, t_2) = \sigma_{t_1}^2 (t_2 - t_1), $$ y $$ \text{Var}(t_0, t_2) = \sigma_{t_0}^2 (t_1 - t_0) + \sigma_{t_1}^2 (t_2 - t_1). $$ Tomando el límite del continuo se llega a esa integral, para un proceso con sólo difusión (sin saltos).