Notación para ∆y utilizada en la demostración de la condición necesaria de segundo orden.

Question

Edita: He actualizado el enlace para que funcione.

Estaba viendo una conferencia para una prueba de que si $x^*$ es un maximizador local de $f$ entonces necesariamente la hessiana es semidefinida negativa.

Sin embargo me he atascado en esta notación: Marca de tiempo Fuente

$y = f(x) = f(x^* + x) - f(x^*)$

• En $x's$ son vectores:
• Más adelante menciona que "Dividir por $^2$ es básicamente dividir por el cuadrado de la longitud del vector $x$ lo que supongo que implica que $x$ es muy pequeña, por lo que la mayor parte de su longitud procede de ?

1. Estoy más acostumbrado a definir un $x = x^* - x$ y $y = f(x^*) - f(x)$
2. Supongo que dado $y = f(x)$ podríamos tomar $y$ como $y$ y $x$ como $x$ por lo que tendríamos $f(x)$ y luego realmente $x = x$ por algún cambio arbitrario?
3. A continuación, estableciendo este = $f(x^* + x) - f(x^*)$ equivale a algo como $f(x^* + hx) - f(x^*)$

Pero, por ejemplo, si realmente sub en $x = x^* - x$ se obtiene algo parecido a la combinación convexa de $x^*$ y $x$ así que no estoy muy convencido de saber lo que está pasando.

Si alguien pudiera guiarme a través de esta notación sería genial...

Contexto adicional

Para contextualizar, utiliza el polinomio de Taylor de segundo grado: $\nabla fx^* + \frac{1}{2}xH(x^*)x  + R_2(x)$ Donde el término final es sólo su notación para el término resto de la serie de Taylor de segundo grado con respecto a nuestro aumento, y luego se divide por $^2$ como se ha dicho, para reducir el resto a 0.

Answer 1

Definición de los siguientes términos donde $x$ y $y$ son vectores:

$x = x - x^*$

$\therefore x = x + x^*$

$y = f(x) = f(x) - f(x^*) = f(x^* + x) - f(x^*)$

Podemos trazar un nuevo eje en términos de $x$ y $y$ tratando esencialmente $x^*$ y $f(x^*)$ como origen. Esto tiene sentido ya que $x$ y $f(x)$ evaluado en $x^* = 0$ . A continuación, llamamos a esta función $F(x)$ (Véase el esquema adjunto)

De este modo se obtiene lo necesario: $y = F(x) = f(x) - f(x^*) = f(x^* + x) - f(x^*)$

En $x$ y $y$ eje impuesto en el gráfico original puede verse en este punto del vídeo El uso de $F$ en lugar de $f$ puede verse aquí .

Responder a las preguntas

1. Creo que $F(x)$ visto aquí fue un error tipográfico y debería haber sido $f(x)$ o $F(x)$
2. ¿Cuál es el beneficio de $F(x)$ ? No estoy del todo seguro, pero creo que el autor hace esto para poder hablar de los Límites como $(x) \to 0$
3. ¿Qué está pasando con $y = F({x}) = f(x^* + {x}) - f(x^*)$ ? Aquí señala que estamos utilizando un "fijo" $x$ y luego tomando múltiplos escalares de ella. Supongo que esto sigue siendo un cambio arbitrario que representa $y$ .
4. Utiliza para que luego pueda dividir por $^2$ que dice que es la longitud aproximada al cuadrado del vector $(x)$ de modo que obtengamos: $\frac{1}{^2}[\nabla f(x^*)•(x) + \frac{1}{2}(x)^TH(x^*)(x)  + R_2({x})] = \frac{1}{2}(x)^TH(x^*)(x)$

• Tengo algunas preguntas sobre cómo eliminar el término restante $\lim \limits_{ \to 0} \frac{R_2(x)}{()^2} = 0$ pero los he añadido en un nuevo puesto ¡!
• Cualquier otra idea sobre la notación en general y el uso de $F({x})$ son bienvenidos.

$x$ y $y$ eje