Derivación de la función trabajo

Question

Quiero saber si estoy dando los pasos correctos para derivar una ecuación laboral a partir de una función de utilidad. Supongamos $U(x,L)=x^{0.5}+l^{0.5}$ donde $L$ es el trabajo, $x$ es nuestro único bien de interés, y $l$ es el ocio. También tenemos una restricción presupuestaria $px+wL=m+wT$ . Comenzamos tomando nuestros parciales y obtenemos nuestra condición de optimalidad: \begin{equation} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{l}}}{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}=\frac{p}{w} \Rightarrow x=\frac{w^2l}{p^2}. \end{equation} A continuación, introduzco esta solución en nuestra restricción presupuestaria. Toma, $m$ son nuestros ingresos no laborales, $w$ nuestro salario, $T$ nuestra dotación de tiempo, y $p$ es el precio del bien $x$ . Como estoy interesado en la ecuación de la oferta de trabajo $L^{\ast}=T-l$ Resuelvo para $l$ . \begin{align*} p\left(\frac{w^2l}{p^2}\right)+wL=m+wT. \end{align*} Cuando resolvemos para $l$ obtenemos \begin{align*} l=\frac{mp+pwT-pwL}{w^2} \end{align*} ¿Significa esto que la función laboral en este caso es: \begin{align*} L^{\ast}=T-\frac{mp+pwT-pwL}{w^2} \end{align*} Temo haber cometido un error en algún punto.

Answer 1

Va en la buena dirección, pero no está completo. Tiene $wl + pL = wmp + w^2pT$

$$\implies w(T-L) + pL = wmp + w^2pT \\ \implies L(p-w) = wmp + w^2pt-wT \\ \implies L^{*}(w,m,p,T) = \frac{wmp + w^2pT-wT}{p-w}$$