Problema de gasto mínimo

Question

El problema típico de gasto mínimo busca minimizar el gasto bajo la restricción $u(x) \ge u^{\ast}$ . Por qué la solución de este problema es tal que $u(x^{\ast})=u^{\ast}$ y no $u(x^{\ast})>u^{\ast}$ ?

Answer 1

Bajo el supuesto de que la función de utilidad es continua y representa relaciones de preferencia definidas sobre el conjunto de consumo $X=R^{L}_+$ y para $p >>0$ la correspondencia de la demanda hicksiana, $h(p,u)$ posee la propiedad de utilidad no excesiva.

$h(p,u)$ es el conjunto de paquetes de consumo óptimos que resuelven el problema de minimización del gasto (PEM) a un vector de precios $p$ y un nivel fijo de utilidad $u$ .

Voy a demostrar por qué una solución de la EMP, es decir, $x \in h(p,u)$ es tal que $u(x)=u$ y $x$ es simplemente un paquete de consumo que resuelve la AEM.

Supongamos que existe un $x' \in h(p,u^{\ast})$ tal que $u(x')>u^{\ast}$ Así que $x'$ es una solución de la AEM pero ofrece un nivel de utilidad mayor que $u^{\ast}$ . Tome una versión reducida de $x'$ , digamos $x''=\alpha x'$ donde $\alpha \in (0,1)$ . Para $\alpha$ suficientemente cerca de $1$ por continuidad de preferencias, debe ser que $u(x'') \ge u^{\ast}$ pero ahora $p \cdot x'' < p x'$ y esto contradice $x'$ de ser óptima en la AEM, y esto no es posible. Por eso $u(x')=u^{\ast}$ si $x' \in h(p,u^{\ast})$

Answer 2

En general, es muy posible que $u(x^*)>u^*$ para un gasto que minimice $x^*$ . Supuestos típicos que garantizan $u(x^*)=x^*$ son que $u$ tiene dominio $\mathbb{R}^l_+$ es continua, $p\gg 0$ y $u^*>0$ .

Este es el argumento: Sea $x$ satisfacer $u(x)>u^*>0$ . Debemos tener $x\neq 0$ et $p\cdot x>0$ . Continuidad de $u$ implica que para $\alpha\in(0,1)$ lo suficientemente pequeño, $u\big(\alpha 0+(1-\alpha)x\big)>u^*$ . Desde $p\gg 0$ también tenemos $p\cdot\big(\alpha 0+(1-\alpha)x\big)=p\cdot(1-\alpha)x=(1-\alpha) p\cdot x<p\cdot x$ . Así que un paquete que da mayor utilidad que $u^*$ no puede minimizar el gasto, y todo paquete que minimice el gasto debe proporcionar una utilidad exacta $u^*$ .

Answer 3

Consideremos la función de utilidad $u:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R}$ dado por $u(x, y) = \min(x, y) + 1$ . Considere $u^*=0.5$ solución al problema de minimización del gasto cuando $p_X>0, p_Y>0$ será $(0,0)$ y satisface $u(0,0)=1>0.5=u^*$ .

Otro ejemplo es el de la utilidad discontinua $u:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R}$ dado por $u(x, y) = \lfloor x+y\rfloor$ es decir, el mayor número entero menor o igual que $x+y$ . Considere $u^*=4.2$ , $p_X = 1$ , $p_Y = 2$ . La solución al problema de minimización del gasto es $(5,0)$ y satisface $u(5,0) = 5>4.2=u^*$ .

Otro ejemplo es cuando las dos materias primas son malas. Consideremos la utilidad $u:\mathbb{R}^2_+\rightarrow\mathbb{R}$ dado por $u(x, y) = 1-x-y$ . Considere $u^*= 0.5$ solución al problema de minimización del gasto cuando $p_X>0, p_Y>0$ será $(0,0)$ y satisface $u(0,0)=1>0.5=u^*$ .

Answer 4

Si las preferencias son continuas y monótonas, si se desea obtener un mayor nivel de utilidad $U’> U^\star$ necesita gastar más dinero que el gasto óptimo para el nivel de utilidad actual $U^\star$ .

En notación funcional, $e(p_x,p_y,U’) > e(p_x,p_y,U^\star) $ por lo que no podrías alcanzar el mínimo para $U’ > U^\star$ .

Tener esto en cuenta ayuda a simplificar el problema porque optimizar para $u(x^\star) = u^\star$ puede hacerse con un Lagrangiano simple, mientras que para $u(x^\star) \geq u^\star$ hay que trabajar con las condiciones de Kuhn-Tucker, que son un poco más complejas.