¿De qué es función el lagrangiano?

Question

Entiendo el papel del lagrangiano en la optimización con restricciones, y que podríamos conceptualizarlo como, por ejemplo, una función de penalización.

Lo que no entiendo es la notación, y tal vez cualquier intuición más profunda detrás de la notación. digamos que tenemos el problema:

$F(x,) s.t. G(x,) b$

¿Por qué el lagrangiano se escribe a veces de estas formas diferentes?

• $L(x, )$ en lugar de $L(x, , )$
• Creo que a veces incluso lo he visto igual de $L(x, )$ o incluso $L(x)$

Preguntas :

1. ¿Hay alguna razón para las diferentes notaciones?
2. En términos más generales, ¿cómo sabemos cuándo escribir una función explícitamente como función de sus parámetros y no sólo de las variables de elección?
3. ¿En el Lagrangiano es una variable de elección o un parámetro? (Seguramente es una variable ya que podemos resolver para el nivel óptimo de ) - en cuyo caso por qué es a veces lugar común escribir $L(x, )$ excluyendo la ?

Answer 1

Si escribe $L(x,\theta,\lambda)$ esto significa que las incógnitas de la función lagrangiana que se pueden estimar son $x,\theta,\lambda$ . Esto implica que sus condiciones de primer orden serán 3, es decir, derivada parcial de la lagrangiana respecto a cada una de las incógnitas.

Si escribe $L(x,\lambda)$ simplemente estás tratando $\theta$ como exógeno.

Ten cuidado, $\lambda$ es el multiplicador lagrangiano y tiene una interpretación específica: te dice cómo aumenta la función objetivo evaluada en el óptimo, cuando aumentas marginalmente tu parámetro de restricción, y tu parámetro de restricción es $b$ . Para una correcta comprensión de este punto, te recomendaría estudiar las condiciones de kuhn tucker que se aplican a tu problema.

Answer 2

¿Hay alguna razón para las diferentes notaciones?

Generalmente para su ejemplo la notación correcta sería $L(x,,)$ .

$L(x,)$ podría utilizarse si se asume $\theta$ se mantiene fija en alguna variable y quieres examinar cómo cambia la solución. $L(x,)$ o $L(x)$ parece sólo una notación descuidada/vaga. Tal vez podría haber alguna razón para ello en algunas situaciones en las que se proporciona el contexto, pero en lo que respecta al problema que usted describe la notación correcta es $L(x,,)$ desde $x$ , $\lambda$ y $\theta$ son claramente variables.

En términos más generales, ¿cómo sabemos cuándo escribir una función explícitamente como función de sus parámetros y no sólo de las variables de elección?

Lo haces cuando quieres una solución explícita a un problema en términos de parámetros. Si sólo quieres una solución general independientemente de los parámetros, entonces no necesitas escribirla como una función de variables.

¿En el Lagrangiano es una variable de elección o un parámetro? (Seguramente es una variable ya que podemos resolver para el nivel óptimo de ) - en cuyo caso por qué es a veces lugar común escribir L(x,) excluyendo la ?

Ni lo uno ni lo otro. Es sólo una variable. Una variable de elección es una variable que puede ser fijada por el agente en el modelo. $\lambda$ no puede ser establecida por el agente, por lo que no es una variable de elección. Sin embargo, no es un parámetro. $\lambda$ no tiene un valor fijo y puede cambiar.