He estado intentando responder a mi propia pregunta, y esto es lo que tengo hasta ahora. Debería ser un buen punto de partida para un debate.
Primero, arregla $\eta$ y tomar los gradientes de cada una de las funciones objetivo. Si denotamos la primera función objetivo como $f_\delta(x)$ entonces
\begin{aligned} \nabla f_\delta(x) &= \mu - \frac{\delta}{2}\left(2\Sigma x\right) = \mu - \delta\Sigma x \end{aligned}
Y si denotamos la segunda función objetivo como $g(x)$ entonces
\begin{aligned} \nabla g(x) &= \mu - \frac{\eta\Sigma x}{\sqrt{x^T\Sigma x}} \end{aligned}
Sabemos que $x^*(\eta)$ es un punto crítico, por lo que $\nabla g(x^*(\eta)) = 0$ retenciones.
\begin{aligned} \nabla g(x^*(\eta)) &= \mu - \frac{\eta\Sigma x^*(\eta)}{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}} = 0 \\ \frac{\eta\Sigma x^*(\eta)}{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}} &= \mu \\ x^*(\eta) &= \frac{\Sigma^{-1}\mu\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}}{\eta} \end{aligned}
También sabemos que una solución para el primer problema, llámese $y$ debe satisfacer $\nabla f_\delta(y) = 0$ .
\begin{align} \nabla f_\delta(y) &= \mu -\delta\Sigma y = 0 \\ \delta\Sigma y &= \mu \\ y &= \frac{\Sigma^{-1}\mu}{\delta} \end{align}
Ahora, queremos encontrar $\delta^*$ para que $y = x^*(\eta)$ .
\begin{align} \frac{\Sigma^{-1}\mu}{\delta^*} &= \frac{\Sigma^{-1}\mu\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}}{\eta} \\ \frac{1}{\delta^*} &= \frac{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}}{\eta} \\ \delta^* &= \frac{\eta}{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}} \end{align}
Para estar seguros, podemos comprobar que $x^*(\eta)$ es un punto crítico de $f_{\delta^*}(x)$ .
\begin{align} \nabla f_{\delta^*}(x^*(\eta)) &= \mu - \frac{\eta\Sigma x^*(\eta)}{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}} = \nabla g(x^*(\eta)) = 0 \end{align}
Mis conclusiones $\delta^*$ son:
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$\delta^* \propto \eta$ . $\eta$ elige cuántas desviaciones estándar por debajo de la media debemos maximizar, por lo que cuanto mayor sea $\eta$ más reacios al riesgo somos. Del mismo modo, a mayor $\delta$ elige la proporción de rendimientos adicionales tenemos que estar dispuestos a aceptar un riesgo adicional. Estas explicaciones concuerdan entre sí.
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$\delta^* \propto \frac{1}{\sqrt{x^*(\eta)^T\Sigma x^*(\eta)}}$ . El término en el denominador es la desviación típica para la solución óptima de la forma alternativa del problema MVO. Cuanto mayor sea esta desviación típica, más arriesgados seremos.
