El problema es que, con una elasticidad de sustitución $\sigma<1$ en la función de producción CES tenemos exponentes negativos. $^1$
Reescribo su Función de producción CES:
$$Y = f(K, L) = (a \cdot K^\rho + (1 - a) \cdot L^\rho )^{1/\rho}.\;\;\;\;\;(1)$$
Elasticidad de sustitución $\sigma = 1/(1-\rho) <1$ implica $\rho<0$ , de modo que los exponentes $\rho$ y $1/\rho$ en la ecuación $(1)$ son negativos.
En concreto, esto implica que los factores $K$ y $L$ en $(1)$ son el denominador de una fracción. Por lo tanto, no podemos establecer $K=0$ o $L=0$ .
Para verlo con claridad, reescribamos $(1)$ como
$$Y = f(K, L) = (a \cdot \frac {1} {K^{-\rho}} + (1 - a) \cdot \frac {1} {L^{-\rho}} )^{1/\rho}\;\;\;(2)$$
donde, obviamente, $-\rho >0$ si $\rho <0$ .
Aunque no podamos fijar $K$ o $L$ igual a $0$ para demostrar que los factores son todos esenciales, podemos, en cambio, tomar el límite de la función de producción como $K$ o $L$ pasa a 0.
Por ejemplo, tomemos el límite de $(1)$ como $L \rightarrow0$ (para un nivel fijo de $K$ ).
Vuelva a escribir $(2)$ como
$$Y = f(K, L) = \frac {1}{(a \cdot \frac {1} {K^{-\rho}} + (1 - a) \cdot \frac {1} {L^{-\rho}} )^{-1/\rho}}\;\;\;\;(3)$$
(recuerde que $-\rho$ y $-1/\rho$ son números positivos).
En $L\rightarrow0$ entonces $1/L^{-\rho}\rightarrow \infty$ y el denominador global de $(3)$ va a $\infty$ . Por lo tanto, la fracción $(3)$ que representa la producción $Y$ va a $0$ .
Eso es, como $L \rightarrow 0$ producción $Y \rightarrow 0$ independientemente del nivel del otro factor $K$ .
Un argumento similar, simétrico, se aplica a $K$ .
Por lo tanto, ambos factores son esenciales porque cualquiera de ellos va a cero implica que la producción va a cero .
$^1$ Y podemos chocar con la terrible prohibición matemática: "No se puede dividir por cero", el pecado mortal en matemáticas .
