Cómo puedo resolver un problema de Maximización de Utilidad utilizando el método Lagrangiano donde la fórmula de Utilidad tiene una constante exógena $a$ ?

Question

La función de utilidad viene dada por: $$u(x, y) = 2x^{\frac{1}{2}} + 2ay^{\frac{1}{2}}.$$

El paquete óptimo debe expresarse en función de $a$ . Otras variables vienen dadas por:

$$\begin{eqnarray*}\text{Income} &&= 80\\ p_X &&= 2\\ p_Y &&= 1 \end{eqnarray*}$$

Soy capaz de resolver problemas similares utilizando el Método Lagrangiano, sin embargo es la constante la que me despista. Estoy perdido después de tomar FOC de la función lagrangiana. ¿Qué debería hacer para tener en cuenta esta constante?

Answer 1

Si $a>0$ entonces $u(x,y)$ es una función cóncava por el teorema de la suma y extensión de dominio.

El paquete óptimo cumplirá las siguientes condiciones: $$\begin{eqnarray*}i)& \quad \ \frac{MU_x}{MU_y}= \frac{p_X}{p_Y} \\ ii)& \quad \ xp_X+yp_Y=M \end{eqnarray*}. $$

Resolver $i)$ da: $ \frac{\sqrt{y}}{a \sqrt{x}} = 2 \implies y=4a^2x $ .

Resolviendo $ii)$ obtenemos: $2x+ 4a^2x = 80 \implies x=\frac{40}{1+2a^2} $ .

Y por lo tanto, $y = 4a^2x =\frac{160a^2}{1+2a^2}$ .