Cálculo de la variación compensatoria con $M^2$

Question

Podemos calcular la variación compensatoria (VC), que (a mi entender) es la cantidad de dinero que tendríamos que devolver a un consumidor para mantenerlo en el mismo nivel de Utilidad tras una subida de precios:

Para una función objetivo estándar, por ejemplo $U(x,y) = x^{1/2}y^{1/2}$ y línea presupuestaria $P_xx + P_yy = M$

Óptimo $U_0 = \frac{M}{2(P_xP_y)^{1/2}}$

La fórmula que me dan en mi libro para calcular el CV es la siguiente (entiendo que si es compensando la variación $M$ en realidad será negativo, dado cómo se construye lo siguiente):

$\frac{M - M}{2(P_x'P_y)^{1/2}} = U_0 = \frac{M}{2(P_xP_y)^{1/2}}$ y resolver para $M$

• Dónde $P_x'$ es nuestro precio incrementado para $x$
• $U_1 = \frac{M}{2(P_x'P_y)^{1/2}}$ es la nueva utilidad con respecto al aumento de precios.

Pregunta 1: ¿Por qué no es $\frac{M}{2(P_x'P_y)^{1/2}} - M = U_0$ ? Esta parece ser una manera más directa de sumar/restar los ingresos adicionales para mantenernos en el mercado. $U_0$ . La formulación original parece ser más sobre la adición / sustracción de Utilidad? Es decir, podríamos definir una $U_1' = \frac{M}{2(P_x'P_y)^{1/2}}$

• ¿Cuál es la intuición aquí?

Pregunta 2: Dada la función de utilidad $U(x,y) = xy$ y la misma restricción presupuestaria, obtenemos la utilidad óptima: $\frac{M^2}{4(P_x'P_y)}$

¿Cuál sería la ecuación correcta para compensar la variación y por qué?

1. $\frac{M^2 - M}{4(P_x'P_y)} = U_0$
2. $\frac{(M - M)^2}{4(P_x'P_y)} = U_0$
3. $\frac{M^2}{4(P_x'P_y)} - M = U_0$

La primera opción funciona - he trabajado a través de un ejemplo numérico y también comparó el $M$ llegas aquí con el $M$ que se obtiene al resolverlo en términos de la función de gasto.

• Pero me encantaría ayuda en la intuición acerca de por qué es el primero, y no los otros (Suponiendo que no funcionan!)

Gracias.

Answer 1

1. La expresión de la izquierda corresponde a la nueva utilidad con el aumento del precio y el nuevo presupuesto $M - \Delta M$ .

Los ingresos son ahora $M - \Delta M$ porque sustituimos los antiguos ingresos $M$ con $M - \Delta M$ .

Por lo tanto,

$\text{budget change} = \text{new budget} - \text{old budget} = (M - \Delta M) - M = - \Delta M$ .

Si los nuevos ingresos $M - \Delta M$ fuera resultado de dar dinero al agente, el dinero que le daríamos para compensar el aumento de precio es igual al $\text{budget change} = - \Delta M$ .

Como le hemos dado dinero al agente, esa cantidad tiene que ser positiva. Para que sea positiva, como usted ha dicho, la cantidad $\Delta M$ tiene que ser negativo.

Me parece un poco raro que el término se introduzca con signo negativo en lugar de positivo, lo que daría directamente la variación presupuestaria como $\Delta M$ sin el signo negativo.

La otra expresión que diste

$\frac{M}{2 (P_{x}^{‘} P_{y})^{\frac{1}{2}}} - \Delta M = U_0$ corresponde en realidad a sumar/restar utilidad.

Esto se debe a que la nueva utilidad después de sólo el aumento de precios es $\frac{M}{2 (P_{x}^{‘} P_{y})^{\frac{1}{2}}}$ .

Resolución de $\Delta M$ en esa expresión daría

$\Delta M = \frac{M}{2 (P_{x}^{‘} P_{y})^{2}} - U_0 =$ $\text{new utility}$ $-$ $\text{old utility}$ $ = \text{change in utility}$ ,

en lugar de un cambio en el presupuesto.

2. La correcta es la opción nº 2.

Esto se debe a que si sustituimos los antiguos ingresos $M$ por lo que serían los nuevos ingresos $M - \Delta M$ la función de cuadratura que se aplicaba a los antiguos ingresos $M$ ahora habría que aplicar a los nuevos ingresos $M - \Delta M$ .

Supongo que fue un poco de suerte con tu ejemplo numérico que el nº 1 te diera la respuesta correcta. Deberías probar con más ejemplos numéricos y encontrarás alguno en el que la opción nº 1 no dé la respuesta correcta, pero la nº 2 siempre lo haga.