¿Cómo manejar múltiples multiplicadores de Lagrange en un problema de maximización?

Question

Supongamos un problema estándar de maximización del hogar de la forma: \begin{align} \underset{C_t}{max} \sum_{t=0}^{\infty} \beta^t U(C_t) \end{align} sujeta a una restricción presupuestaria estándar: \begin{align} C_t + b_t \leq b_{t-1}\frac{R_{t-1}}{\Pi_t} + Y_t \end{align} y un límite de endeudamiento: \begin{align} b_t \leq \bar{b} \end{align}

Yo escribiría el lagrangiano así: \begin{align} L = \sum_{t=0}^{\infty} \beta^tU(C_t) - \lambda_t(C_t + b_t - b_{t-1}\frac{R_{t-1}}{\Pi_t} - Y_t) - \mu_t(b_t-\bar{b}) \end{align}

Si ahora derivo el Lagrangiano por bonos $b_t$ Me sale la expresión: \begin{align} \lambda_t = \lambda_{t+1}\frac{R_t}{\Pi_{t+1}} - \mu_t \end{align}

Ahora, como de costumbre, puedo deshacerme fácilmente del $\lambda$ multiplicadores tomando la derivada del Lagrangiano con respecto al consumo y sustituyéndolos, así que termino con: \begin{align} U'(C_t) = \beta U'(C_{t+1})\frac{R_t}{\Pi_{t+1}} - \mu_t \end{align} Pero ¿cómo me deshago del otro multiplicador y si no puedo sustituir con nada, cómo manejo una Ecuación de Euler como esta? Si tuviera que construir un modelo con esta Ecuación de Euler, ¿el multiplicador se quedaría y entraría en mi modelo como un parámetro que tengo que definir?

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero espero que sirva de ayuda.

Una observación general es que los problemas de optimización complejos no siempre tienen una solución analítica. Así, aunque muestre una sustitución que elimine $\lambda_t$ no se puede suponer que exista una sustitución que elimine $\mu_t$ . Por otra parte, sería inadecuado tratar $\mu_t$ como parámetro a definir. Ya tiene un significado definido como el precio sombra asociado al límite de endeudamiento, por lo que debemos tener $\mu_t>0$ si $b_t=\bar{b}$ y $\mu_t=0$ si la restricción de endeudamiento es floja en el momento $t$ .

Otra observación es que, suponiendo como es normal que $U$ está aumentando en $C$ para un óptimo, la restricción presupuestaria siempre será vinculante, ya que si fuera floja en cualquier período, la suma infinita podría aumentarse incrementando $C_t$ en ese periodo. Así que a continuación me referiré a ella como la igualdad presupuestaria.

Hay una circunstancia en la que el problema puede resolverse. Es decir, si la restricción de préstamo es inicialmente floja, y el cálculo de las trayectorias temporales de $C_t$ y $b_t$ usando:

$$U'(C_t) = \beta U'(C_{t+1})\frac{R_t}{\Pi_{t+1}}$$

y la igualdad presupuestaria muestra que la restricción de endeudamiento resulta ser siempre floja. (Los detalles del cálculo dependerán de la forma funcional de $U$ los valores de las cantidades exógenas y la condición terminal). En ese caso especial $\mu_t$ es siempre cero, por lo que puede ignorarse. Este escenario sería más probable si el valor de $\dfrac{R_t}{\Pi_{t+1}}$ La rentabilidad de los préstamos es siempre muy baja.

Si no se da esa circunstancia, el problema parece muy difícil. La combinación de un horizonte infinito y un conjunto de variables exógenas que pueden no ser constantes a lo largo del tiempo no es habitual. Una de las razones por las que a veces se modela el problema de los hogares en un marco infinito es:

"el problema de los hogares se convierte en estacionario en el sentido de que el problema en la fecha t es exactamente el mismo que en t+1" ( Hendricks (2005) )

La estacionariedad no significa que los valores de las variables sean constantes a lo largo del tiempo, pero a menudo significa que siguen una progresión regular que converge a un valor límite, lo que puede facilitar la solución de problemas de horizonte infinito. En este caso, sin embargo, a menos que se hagan suposiciones adicionales, el problema nunca llega a ser estacionario porque no tenemos ninguna razón para suponer, ni siquiera para un futuro muy lejano, que $R_{t+1}=R_t$ o de forma similar para $\Pi_{t+1}$ o $Y_{t+1}$ .

Answer 2

Cuando permitimos el endeudamiento, es otro el que presta. Así que nuestra deuda es un activo para otro. Desde el punto de vista del prestamista, surge una condición de transversalidad, relacionada con la tenencia de activos al infinito sin consumirlos.

Así que sugeriría estudiar el modelo desde el punto de vista del prestamista, y ver lo que esto puede implicar para el multiplicador de la deuda por parte del prestatario.

Sólo hay que recordar que, mientras que la condición de transversalidad en un modelo de horizonte finito es clara (consumirlo todo antes de morir), el caso es más sutil en un problema de horizonte infinito.