¿Por qué $\frac{MU_x}{P_x}=\frac{MU_y}{P_y}$ ?

Question

Acabo de empezar a aprender economía y el libro de texto dice $\frac{MU_X}{P_X}=\frac{MU_Y}{P_Y}$ para un comprador con un presupuesto fijo para gastar en dos bienes, $X$ y $Y$ .

Digamos que los bienes $X$ y $Y$ ambos cuestan $\\\$ 1$ . $X$ La utilidad de $6$ y disminuye en $2$ con cada compra adicional, y $Y$ La utilidad de $5$ y disminuye en $2$ con cada compra adicional. El comprador tiene $\\\$ 2$ para gastar. Entonces es obvio que la elección óptima es una $X$ y una $Y$ . Pero entonces $\frac{MU_X}{P_X}=6$ y $\frac{MU_Y}{P_Y}=5$ . La norma es errónea.

Answer 1

Acabo de empezar a aprender economía y el libro de texto dice $MU_X/P_X=MU_Y/P_Y$ para un comprador con un presupuesto fijo para gastar en dos bienes, X e Y.

Esta afirmación es correcta. Prueba:

Empieza con:

$$U(x,y), st: p_x x + p_y y =I$$

Utiliza el Lagrangiano:

$$\mathcal{L} = U(x,y) - \lambda (p_x x + p_y y -I)$$

Derive los FOC:

$$MU_x - \lambda p_x = 0$$

$$MU_y - \lambda p_y = 0$$

$$p_x x + p_y y -I=0$$

La combinación de los dos primeros FOC le indica que en óptimo:

$$MU_x/p_x = MU_y/p_y$$

Esta condición debe cumplirse para que el consumidor consuma paquetes óptimos de $x$ y $y$ .

Supongamos que los productos X e Y cuestan \$1. X's utility is 6 and decreases by 2 with each additional purchase, and Y's utility is 5 and decreases by 2 with each additional purchase. The buyer has \$ 2 para gastar. Entonces es obvio que la elección óptima es una X y una Y. Pero entonces MUXPX=6 y MUYPY=5. La regla es errónea.

Bueno, no puedes inventarte números en un problema científico como este. Por ejemplo, en física sabemos que la distancia es igual a la velocidad por el tiempo:

$$d=rt$$

No puedes decir entonces: "¿pero y si la distancia es de 100 km, la velocidad es de 55 km/h y el tiempo es de 100 horas?". O, para ser claros, puedes hacer la pregunta, por supuesto, pero la respuesta es simplemente que los números que te has inventado no concuerdan con la relación física entre distancia, velocidad y tiempo.

Del mismo modo, en tu caso te has inventado una serie de números que son incoherentes con un comportamiento racional del consumidor sujeto a una restricción presupuestaria. Esa combinación de números simplemente no se daría de forma óptima en este modelo.

Answer 2

La regla se deriva de la condición de que en el óptimo la línea presupuestaria sea tangente a la curva de indiferencia. Esto requiere implícitamente que las cantidades $x$ y $y$ son números reales que pueden variar continuamente. En cambio, tu ejemplo utiliza cantidades discretas, para las que no se aplica la regla.

Para integrar su ejemplo de valores discretos en un marco continuo puede utilizar $u_x=7x-x^2$ y $u_y=6y-y^2$ con utilidad aditiva del paquete $u(x,y)=u_x+u_y$ . Entonces $MU_x=7-2x$ y $MU_y=6-2y$ . La condición de optimalidad nos da entonces $x^*=5/4$ y $y^*=3/4$ con igual utilidad marginal de $9/2$ . La regla es correcta.