Modelo de Solow en tiempo continuo - definiciones

Question

Dado que el capital per cápita $ k = \frac{K}{L}\ $ (cápita total dividida por la población activa), y queremos encontrar $ \dot{k}\ $ parece que $ \frac{\dot{k}}{k}\ = \frac{\dot{K}}{K}\ - \frac{\dot{L}}{L}\ $

¿Por qué? ¿No debería la derivada con respecto al tiempo $ \dot{k}\ $ algo así como una regla de cociente?

Además, ¿por qué $ \frac{\dot{L}}{L}\ = n $ ? ¿No debería la derivada con respecto al tiempo de la mano de obra ser igual a $ n $ (la tasa de crecimiento de L, en tiempo discreto, $ L_1 = (1+n)L_0 $ ), de modo que $ \dot{L}\ = n $ ?

Answer 1

$k(t)=\dfrac{K(t)}{L(t)}$

Tomando el logaritmo de ambos lados, obtenemos

$\ln k(t)=\ln K(t)- \ln L(t)$

Diferenciación con respecto a $t$ obtenemos

$\dfrac{1}{k}\dfrac{dk}{dt}=\dfrac{1}{K}\dfrac{dK}{dt}-\dfrac{1}{L}\dfrac{dL}{dt}$

que también puede escribirse como $\dfrac{\dot{k}}{k}=\dfrac{\dot{K}}{K}-\dfrac{\dot{L}}{L}$

Answer 2

Esto sólo responde a tu primera pregunta, pero la regla del cociente hace solicítelo aquí. El lado derecho de su relación se deriva más naturalmente utilizando la formulación logarítmica (como en otras respuestas), pero considere lo siguiente:

$k = K/L$

$\dot{k} = \frac{L \dot{K} - K\dot{L}}{L^2}$

$\frac{\dot{k}}{k} = \frac{\dot{k}L}{K} = \frac{L}{K} \left( \frac{L \dot{K} - K\dot{L}}{L^2} \right) = \frac{L^2\dot{K}}{K L^2} - \frac{LK\dot{L}}{KL^2} = \frac{\dot{K}}{K} - \frac{\dot{L}}{L}$

Answer 3

Hay otra forma de formular la cuestión, equivalente a la formulación de las respuestas anteriores, para explicar por qué $\frac {\dot L}{L}=n$ .

En el modelo de crecimiento de Solow, como en su caso, el supuesto habitual es que la tasa de crecimiento de la población es una constante, $n$ .

La tasa de crecimiento (equivalente a la tasa de crecimiento porcentual en tiempo discreto) en tiempo continuo es, por definición, $\frac {\dot L}{L}$ .

Un sistema con una tasa de crecimiento constante se rige por una ecuación $^1$ como:

$$ L(t)= L_0 e^{nt}\;\;\;(1),$$

donde $L_0$ es la población en el momento $0$ .

En efecto, tomando la derivada de $(1)$ con respecto al tiempo que tenemos: $$\dot L(t)= nL_0 e^{nt}.$$

Dividiendo ambos lados por $L(t)$ tenemos (sin tener en cuenta $t$ ) :

$$\frac {\dot L}{L}= \frac{nL_0 e^{nt}}{L_0 e^{nt}}= n.$$

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$^1$ Se trata de la formalización del supuesto de tasa de crecimiento constante de la población en el modelo de Solow en tiempo continuo

Answer 4

No, no deberías usar la regla del cociente aquí. Estos son los pasos:

1. log linealizar $$k=K/L \implies \ln k = \ln K - \ln L$$
2. Tomarse el tiempo derivado vrt $t$ (tratar cualquier variable $x$ como $x(t)$ ) utilice la regla de la cadena.

$$ \frac{1}{k}k'(t)= \frac{1}{K} K'(t) -\frac{1}{L} L'(t)$$

1. Simplificar y ajustar la notación ( $x'(t) = \dot{x}$ ) :

$$ \frac{\dot{k}}{k} = \frac{\dot{K}}{K} -\frac{\dot{L}}{L} $$

Como ves, aquí no hay razón para utilizar la regla del cociente.

Respecto a la segunda pregunta. Un equivalente en tiempo continuo de $(L_1 - L_0)/L_0$ es $\dot{L}/L$ desde $\dot{L}= L_1 - L_0$ como $\Delta t \to 0$ . Así que si $L_1=(1+n)L_0$ es de esperar que $\dot{L}/L=n$ aunque nota $n$ en tiempo discreto y continuo no son 100% iguales ya que en tiempo continuo es crecimiento instantáneo y en tiempo discreto es a lo largo de un periodo de tiempo, pero si lo piensas en términos de equivalente metodológico en tiempo continuo entonces son equivalentes.