Segundo teorema del bienestar: ¿puede utilizarse para demostrar que no existe ningún equilibrio competitivo? (economías de intercambio)

Question

Una versión del Teorema del Segundo Bienestar afirma que: si existe un equilibrio competitivo/walrasiano y una dotación $X$ es Pareto eficiente, entonces existe un vector de precios $\hat{P}$ para lo cual $(\hat{P}, X)$ es un equilibrio competitivo.

Si tengo una única asignación $\bar{X}$ que es Pareto eficiente pero no un equilibrio competitivo (es decir, no hay $\hat{p}$ que hace que esta asignación maximice la utilidad de todos los jugadores), ¿implica esto que no existe un equilibrio competitivo?

¿Y si todas las $X$ ¿son eficientes en Pareto? ¿Probaría esto que no existe un equilibrio competitivo?

Muchas Gracias

Answer 1

En todo equilibrio competitivo, la dotación de un consumidor se encuentra en su conjunto presupuestario. Dado que eligen un punto óptimo en el conjunto presupuestario, cada consumidor en un equilibrio competitivo recibirá un paquete que es al menos tan bueno como la dotación. Si la asignación de la dotación es Pareto eficiente, ningún consumidor puede recibir un paquete que sea estrictamente mejor que su dotación. Por tanto, todos los que elijan su dotación del conjunto presupuestario serán óptimos para ellos, y la asignación de la dotación es, por supuesto, factible. Por lo tanto, si existe un equilibrio competitivo a partir de una asignación de dotación eficiente de Pareto, la asignación de dotación debe ser una asignación de equilibrio competitivo.

En consecuencia, si una asignación de dotación eficiente de Pareto no es una asignación de equilibrio, no puede existir ningún equilibrio.

Consideremos una economía de caja de Edgeworth simple en la que ambos consumidores tienen preferencias dadas por $u(x_1,x_2)=x_1+x_2$ . Entonces, tanto los consumidores que consumen su dotación como los precios que satisfacen $p_1=p_2>0$ es un equilibrio competitivo. En este caso, todas las asignaciones (excluida la enajenación) son eficientes.