Filtrado SDE para la volatilidad de Heston

Question

Consideremos un modelo GBM con volatilidad Heston: $$dS_t = \mu S_t dt + \sqrt{V_t} S_t dB_t^1$$ $$dV_t = \kappa(\theta-V_t)dt+\xi \sqrt{V_t}dB_t^2,$$ donde $(B_t^1, B_t^2)$ es un BM correlacionado. Sea $$\mathscr{F}_t^S=\sigma(S_u : u\leq t),$$ y considerar la estimación filtrada de la varianza $V$ $$\hat{V}_t = \mathbb{E}(V_t | \mathscr{F}_t^S).$$

Pregunta: ¿Podemos derivar una ED filtrante para $\hat{V}_t$ análogo al del teorema de Fujisaki-Kallianpur-Kunita? ¿O existe una transformación del sistema SDE anterior en los casos permitidos en su teorema (enunciado a continuación)?

Recordemos lo expuesto en el teorema 8.11 de Rogers y Williams, volumen 2, capítulo VI.8 (en una dimensión): Fujisaki, Kallianpur y Kunita demostraron que en el caso de un proceso de observación $$dY_t = h_t dt + dW_t,$$ con señal oculta $X$ si escribimos $f_t \equiv f(X_t)$ y $\hat{f}_t \equiv \mathbb{E}(f(X_t)| \mathscr{Y}_t)$ entonces $\hat{f}_t$ satisface la SDE $$d\hat{f}_t = \widehat{\mathscr{G}f_t}dt+(\widehat{f_t h_t}-\hat{f}_t\hat{h}_t+\hat{\alpha}_t)dN_t,$$ donde $N$ es un $\mathscr{Y}_t$ -Movimiento browniano (en concreto $N_t=Y_t-\int_0^t \hat{h}_sds$ .) Aquí $\alpha$ viene dada por la densidad respecto a la medida de Lebesgue de $[M, W]$ donde $$M_t = f(X_t)-f(X_0)-\int_0^t \mathscr{G}f_s ds,$$ es un $\mathscr{F}_t$ -martingale ( $\mathscr{F}_t$ siendo la filtración asociada a $W$ ). Podemos pensar en la señal $X$ como resolver una SDE y tener un generador infinitesimal $\mathscr{G}$ aunque en el libro y en el artículo original la configuración es más general. He omitido a propósito algunas condiciones de regularidad requeridas, por brevedad, pero si alguien está interesado/preocupado puedo editarlas más tarde.

Sé que hay otros enfoques de filtrado, como aplicar la discretización de Euler-Maruyama y luego algún análisis bayesiano o filtros de partículas, pero me interesan las generalizaciones de este enfoque de filtrado en tiempo continuo/SDE.

Answer 1

Creo que he encontrado un posible método para derivar una SDE de filtrado, pero su viabilidad es cuestionable. En Rogers y Williams se señalan las limitaciones de tales SDE de filtrado, y parece que esta limitación exacta es bastante severa fuera de los casos bien conocidos como el filtro Kalman-Bucy. En efecto, dependiendo de la deriva $h$ del proceso de observación y el generador infinitesimal $\mathscr{G}$ las integradas en la SDE para $f$ [sic] implican estimaciones de otras funciones del proceso de la señal, y sólo en casos especiales podemos esperar hacer algo al respecto", p.331, Volumen 2.

Si seguimos las ideas del artículo de Aihara y Bagchi En el caso que nos ocupa, podemos ver exactamente la dificultad. En primer lugar, dejemos que $Y_t = \log S_t/S_0$ . Claramente, por Ito, $$dY_t = (\mu-\frac12 V_t)dt + \sqrt{V_t}dB_t^1.$$ Ahora, un cambio de tiempo aleatorio cambia el sistema GBM-Heston SDE estándar a $$d\tilde{Y}_t = \left(\frac{\mu}{\tilde{V}_t}-\frac12 \right)dt + dB_t^1,$$ $$d \tilde{V}_t = \kappa\left(\frac{\theta}{\tilde{V}_t}-1\right)dt+\xi dB_t^2.$$

A partir de aquí, por comodidad de anotación, suprimiremos las tildes y escribiremos simplemente $V$ para $\tilde{V}$ pero ten por seguro que se trata del sistema de cambio de hora. Nos encontramos esencialmente en el escenario del teorema de Fujisaki-Kallianpur-Kunita, salvo que el ruido impulsor de la observación está correlacionado con el ruido de la señal. Sentirse imprudente aplicaremos el teorema con los cambios naturales. Aquí $$h_t = \left(\frac{\mu}{v}-\frac12 \right),$$ y $$\mathscr{G}f(v) = \kappa\left(\frac{\theta}{v}-1\right)f'(v)+\frac12 \xi^2 f''(v).$$

Informática $\widehat{\mathscr{G} f}$ , $\widehat{fh}$ , $\hat{f}\hat{h}$ y $\alpha_t f'(V_t) dt = \rho \xi dt$ para $f(v)=v$ y simplificando las expresiones anteriores, obtenemos la SDE de filtrado $$d\hat{V}_t = \kappa (\theta \widehat{V^{-1}}_t-1)dt+(\mu(1-\hat{V}_t\widehat{V^{-1}}_t)+\rho \xi)dN_t,$$ donde $N$ es un $\mathscr{Y}_t$ -Movimiento Browniano.

Hasta aquí he podido llegar. De forma similar se puede derivar una SDE para $\widehat{V^{-1}}_t$ pero, a su vez, depende de momentos superiores de $1/V_t$ por lo que es necesario resolver una cantidad infinita de SDE. Tal vez deshacer el cambio de tiempo sería fructífero pero aún no lo he resuelto por mí mismo y no veo ninguna otra que pueda eliminar simultáneamente la molestia $\widehat{V^{-1}}$ de las partes de deriva y difusión de la SDE.

En resumen: (si mi trabajo aquí es correcto, entonces) una SDE de filtrado para la volatilidad (Heston) existe, pero no es realmente utilizable. Los autores del trabajo mencionado aquí utilizan la Ecuación de Zakai y proporcionar un esquema de aproximación, ¡y lo anterior es probablemente una de las razones!

Por favor, comente si tiene alguna corrección o aclaración.