Modelo SABR - beta

Question

En el modelo SABR, el parámetro beta controla en gran medida el comportamiento back-bond del modelo. Cómo se estima beta?

Un enfoque consiste en hacer una regresión de atm vol frente a forward, es decir.

$$\ln(\textrm{atm vol}) = \ln(\alpha) - (1-\beta) \times \ln(\textrm{forward}).$$

que procede del modelo SABR (expansión). ¿Se utilizan otros enfoques?

Answer 1

Según mi experiencia, $\beta$ suele preseleccionarse a partir de consideraciones a priori porque existe un alto grado de redundancia entre $\beta$ y $\rho$ (ambos afectan a la sonrisa vol de forma similar).

Como por ejemplo se muestra en la P.91 del artículo Gestionar el riesgo Smile de Hagan et. al en la revista Willmott, encajando $\alpha$ , $\rho$ y $\nu$ para $\beta = 0$ así como $\beta = 1$ no supone una diferencia sustancial en la calidad de los ajustes. La captura de pantalla siguiente procede del artículo.

Los autores pasan a explicar que en su experiencia,

Las sonrisas del mercado pueden ajustarse igual de bien con cualquier valor específico de .

El artículo también menciona su procedimiento de estimación si no desea utilizar consideraciones a priori para $\beta$ . Uno de los problemas es que los datos suelen ser ruidosos y los resultados de la regresión no son muy sólidos.

Otro enfoque
Aunque la elección de $\beta$ puede no ser importante para el ajuste de la sonrisa, existen alternativas que tratan de minimizar el error de cobertura. Véase, por ejemplo Sobre la estimación del parámetro beta del modelo SABR: El papel de la cobertura en la determinación del parámetro beta . Aunque el autor trabaja en Bloomberg, por lo que yo sé, Bloomberg utiliza un valor codificado de 0,5 para su aplicación SABR en VCUB .

En el modelo SABR,

• $\sigma_{ATM} \approx \frac{\alpha}{f^{1-\beta}}$ donde $f$ es el precio a plazo subyacente.
• $\sigma_{f} = \alpha * f^{\beta-1}$ es la volatilidad del tipo de interés a plazo. Hay dos razones expuestas por las que puede querer estimar $\beta$ .

1. Dado el vol. del mercado $\beta$ determina qué parte del riesgo de volatilidad puede cubrirse mediante la cobertura delta (la cobertura delta elimina la variación previsible de la volatilidad); $f^{\beta-1}$ ) y la cobertura vega (el riesgo estocástico vol; $\alpha$ )

2. $\beta$ controla la traza de las volatilidades de los cajeros automáticos a medida que cambia el plazo subyacente.
   $\Rightarrow$ Si $\beta = 1$ , $\alpha \approx \sigma_{ATM}$ lo que implica $\sigma_{ATM}$ no cambia a medida que f cambios.
   $\Rightarrow$ Si $\beta < 1$ , $\sigma_{ATM}$ disminuirá si $f$ aumenta porque o $f^{\beta-1}$ . Esta relación entre $f$ y $\sigma_{ATM}$ se denomina columna vertebral y la forma de la columna vertebral muestra cuánta volatilidad adicional tomará el operador de opciones a medida que se mueva el tipo a plazo, como se muestra en el siguiente gráfico, que utiliza Julia . Estoy utilizando valores de parámetros hipotéticos y tipos de interés a plazo, similares a los del documento.

   load packages

   using Plots, PlotThemes, Interact, LaTeXStrings theme(:juno)

   define inputs

   , , , , t_ex, f1, f2, f3, t_ex = 1, 0.05, 0, 1, 1, 0.03, 0.05, 0.07, 1 K = 0.01:0.0001:0.1

   define the expression

   function _b(,, , , t_ex, f, K) A = /(((fK)^((1-)/2))(1+((1-)^2)/24log(2,(f/K))+ ((1-)^4)/1920log(4,(f/K)))) B = 1+(((1-)^2)/24(^2/(fK)^(1-))+(1/4)/((fK)^((1-)/2))+(2-3^2)/24^2)t_ex z = /(fK)^((1-)/2)*log(f/K) _z = log((sqrt(1-2*z+z^2)+z-)/(1-)) atm = /(f^(1-))(1+(((1-)^2)/24(^2/(fK)^(1-))+(1/4)/((fK)^((1-)/2))+(2-3^2)/24^2)t_ex) cond = f==K return cond ? atm : Az/_zB, atm end

   define plots

   plot(K,[x[1] for x in _b.(,, , , tex, f1, K)], size =(800,500), margin=5Plots.mm, title = "Backbone for SABR Model \n( = $, = $, = $, = $, "L"$ t{ex}"" = $t_ex)", label = "f = $(round((f1100),digits=1))%", xlabel = "Strikes", ylabel = "Volatility") plot!(K,[x[1] for x in _b.(,, , , t_ex, f2, K)], label = "f = $(round((f2100),digits=1))%") plot!(K,[x[1] for x in _b.(,, , , t_ex, f3, K)], label = "f = $(round((f3100),digits=1))%") plot!(K, [minimum(x[2] for x in _b.(,, , , t_ex, fwd, K)) for fwd in K], label = "Backbone", linewidth = 3, linestyle = :dashdot, linealpha = 0.5) ylims!((0,maximum(x[1] for x in _b.(,, , , t_ex, f3, K)))) xlims!((minimum(K),maximum(K)))

Añadiendo unas líneas similares a esta respuesta hace que el gráfico sea interactivo.

La aplicación completa es un poco larga, pero está bien descrita en el artículo de referencia. En resumen, los autores proponen dos soluciones. La más sencilla es utilizar una calibración en dos pasos;

• primer paso: utilizar una beta prefijada para estimar los parámetros SABR, que a su vez se utilizan para calcular el error de cobertura, basado en la cobertura delta y vega, calculando así la suma de los errores de cobertura relativos al cuadrado (que es una función de $\beta$ ) para todos los strikes de la cadena de opciones (los autores se fijaron en las opciones de futuros sobre eurodólares).
• segundo paso: calcular el $\beta$ que minimice la suma de los errores de cobertura relativos al cuadrado

El inconveniente del enfoque en dos fases es que no se puede hacer una compensación entre el rendimiento de la cobertura y el ajuste de la sonrisa vol. Por lo tanto, los autores también describen un segundo enfoque, que calibra todos los parámetros en un solo paso, minimizando así el error de cobertura, así como el error de calibración en una sola vez.

Editar

Simplemente utilizo las definiciones y la notación empleadas en el documento de referencia. El riesgo de volatilidad es literalmente el riesgo asociado a los cambios en la volatilidad. Como se muestra arriba, en el modelo SABR, $\sigma_{f} = \alpha * f^{\beta-1}$ es la volatilidad del tipo de interés a plazo, donde $\alpha$ es la parte estocástica y $f^{\beta-1}$ es la parte previsible (que afecta implícitamente a la parte estocástica a través de $\rho$ ). Si $\beta = 1$ sólo importa la parte estocástica. Esto es en esencia similar a la delta pegajosa, porque el vol ATM se mantiene igual que $f$ se mueve (y la columna vertebral es una línea vertical). Sin embargo, para $\beta < 1$ la parte previsible puede cubrirse mediante una cobertura delta, ya que sólo depende de $f$ . Para más detalles, recomiendo leer el documento al que he hecho referencia.