Propagación de errores del ratio de Sharpe

Question

Mirando a Opdyke, J.D., Comparación de los ratios de Sharpe: ¿Dónde están los valores P? En la página 22 (Apéndice A) se da una aplicación para la fórmula de Propagación de Errores sobre un cociente de dos variables aleatorias:

$$\operatorname{Var} (x_1/x_2)=\left[ \frac{E[x_1]}{E[x_2]}\right]^2\left[\frac{Var(x_1)}{E[x_1]^2} + \frac{Var(x_2)}{E[x_2]^2} - 2\frac{Cov(x_1,x_2)}{E[x_1]E[x_2]}\right]$$

La fórmula en sí está clara, lo que no entiendo es cómo las dos expectativas de $Var(x_2)$ y $Cov(x_1,x_2)$ se evalúan cuando $x_1=\mu$ (=rendimiento medio) y $x_2=\sigma$ (=desviación típica de los rendimientos):

$$\operatorname{Var} (\mu/\sigma)=\left[ \frac{\mu^2}{\sigma^2}\right]\left[\frac{\sigma^2 \ / \ n}{\mu^2} + \frac{(\mu_4-\sigma^4) \ / \ 4n\sigma^2}{\sigma^2} - 2\frac{\mu_3 \ / \ 2n\sigma}{\mu\sigma}\right]$$

Esto puede ser elemental pero no veo como se pasa de $Var(\sigma)=(\mu_4-\sigma^4)\ / \ 4n\sigma^2$ y $cov(\mu,\sigma)=\mu_3 \ / \ 2n\sigma$ .

¿Existen aquí ciertos supuestos distributivos?

Answer 1

He encontrado una respuesta en un comentario en Lo (2002) por Mertens (2002) que puedo entender y he enumerado algunos pasos adicionales a continuación. El planteamiento es ligeramente diferente al que he enumerado en la pregunta original, pero los resultados son exactamente los mismos. El argumento es el siguiente: la supresión del supuesto de normalidad de Lo introduce asimetría y exceso de curtosis en la varianza asintótica del estimador del momento. Para llegar a este resultado, utilizamos GMM.

Sea $\theta= \left[\mu \ \ \sigma^2 \right]'=\begin{bmatrix}\mathbb E[R_t] \\ \mathbb E[(R_t-\mu)^2] \end{bmatrix}$ y tratar de resolver lo siguiente (utilizando GMM):

$$ H(\theta) = \begin{bmatrix} R_t-\mu \\ (R_t-\mu)^2-\sigma^2 \\ \end{bmatrix} $$

$$f(H(\theta)) = \frac{1}{T}\sum^T_{t=1} H_t(\theta)\stackrel{!}{=}0$$

Esto se resuelve sobre todo el conjunto de datos $T$ pero he eliminado algunas anotaciones del documento original. La matriz de varianza-covarianza de $H$ es entonces:

$$ S=\mathbb E\left[H(\theta)H(\theta)'\right]= \mathbb E \begin{bmatrix} (R_t-\mu)^2 && (R_t-\mu)\left((R_t-\mu)^2-\sigma^2\right) \\ (R_t-\mu)\left((R_t-\mu)^2-\sigma^2 \right) && \left((R_t-\mu)^2-\sigma^2) \right)^2\\ \end{bmatrix} $$

Multiplicando y evaluando las expectativas que obtenemos:

$$ S= \begin{bmatrix} \sigma^2 && \mathbb E\left[(R_t-\mu)^3-(R_t-\mu)\sigma^2 \right] \\ \mathbb E\left[(R_t-\mu)^3-(R_t-\mu)\sigma^2 \right] && \mathbb E \left[ (R_t-\mu)^4 - 2\underbrace{(R_t-\mu)^2}_{\sigma^2}\sigma^2 + \sigma^4\right ] \\ \end{bmatrix} $$

Algunos términos pueden simplificarse en expectativa, en particular en la parte superior derecha e inferior izquierda tenemos $\mathbb E[(R_t-\mu)\sigma^2]=0$ . Entonces obtenemos:

$$ S = \begin{bmatrix} \sigma^2 && \mathbb E\left[(R_t-\mu)^3\right] \\ \mathbb E\left[(R_t-\mu)^3\right] && \mathbb E\left[(R_t-\mu)^4\right] -\sigma^4\end{bmatrix}$$

A continuación, el método delta aplicado al Ratio de Sharpe puede escribirse como:

$$V_{SR}=\frac{\partial g}{\partial \theta'}V_\theta \frac{\partial g}{\partial \theta'}'$$

Las derivadas parciales de la función Sharpe Ratio $g(\theta)=g(\mu,\sigma)$ son fáciles, lo conseguimos: $$\frac{\partial g}{\partial \theta'}=\begin{bmatrix} 1/\sigma \\ -\frac{\mu}{2\sigma^3}\\ \end{bmatrix}$$

Por último, volvemos a lo que Opdyke (2005) hace en su artículo y podemos abordar la pregunta original. Configuración de $V_\theta=S$ y multiplicando por $V_{SR}$ obtenemos (he eliminado la tasa libre de riesgo $R_f$ ):

$$V_{SR}=\frac{\sigma^2}{\sigma^2}-2\frac{\mu}{2\sigma^3}\frac{1}{\sigma} \mathbb E \left[ (R_t-\mu)^3\right] + \frac{\mu^2}{4\sigma^6} \left( \mathbb E \left[(R_t-\mu)^4\right]-\sigma^4\right)$$

Sea $\gamma_3=\frac{\mathbb E \left[(R_t -\mu)^3 \right]}{\sigma^3}$ y $\gamma_4=\frac{\mathbb E \left[(R_t -\mu)^4 \right]}{\sigma^4}$ sean el tercero y cuarto normalizados, momementos centrales entonces obtenemos el resultado final:

$$\boxed{V_{SR}=1+\frac{1}{2}SR^2-SR\cdot\gamma_3 + SR\cdot \frac{\gamma_4-3}{4}}$$