estimación del equivalente de certeza sin función de utilidad dada

Question

El cuerpo de la pregunta es:

Supongamos que el responsable de la toma de decisiones tiene aversión al riesgo, $u(40)=\frac{1}{2}(u(0)+u(100))$ , $u(m)=\frac{1}{2}(u(0)+u(180))$ , intenta estimar el rango de m.

Es fácil obtener el mínimo de m: sea u(180)=u(100) y $m \geq 40 $ . Sin embargo, obtener el supremum de m es un poco complejo ya que no conozco la función de utilidad exacta. Sólo conozco $90 \geq m $ ya que es cóncava.

Esta es mi idea: para obtener el valor máximo de m, necesitamos hacer que la pendiente de u(x) se mantenga constante cuando $x \geq m$ (de hecho no sé si esta especulación es cierta o no). La concavidad garantiza que las derivadas derecha e izquierda de u(x) existen. Entonces no sé cómo continuar.

Si algo no está claro, por favor dígamelo. Cualquier avance al respecto será muy apreciado.

Answer 1

WLOG dejar $u(0)=0$ et $u(100)=60$ . Por lo tanto, $u(40) = \dfrac{60}{2} = 30$ . Por concavidad de $u$ , $\dfrac{u(180)-u(100)}{80} \leq \dfrac{u(100)-u(40)}{60}=\dfrac{1}{2}$ . De este modo se obtiene un límite superior para $u(180)\leq 100$ . En consecuencia, obtenemos un límite superior para $u(m) = \dfrac{u(180)}{2} \leq 50$ . Este límite se consigue mediante la función de utilidad cóncava $u(x)=\min\left(\frac{3}{4}x, 10+\frac{1}{2}x\right)$ . Por lo tanto, $m\leq 80$ .

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Answer 2

_Nota: "aversión al riesgo" implica estricto concavidad, por lo que no permitiría segmentos lineales ni saturación._

$$u(40)=\frac{1}{2}[u(0)+u(100)] \implies u(0) = 2u(40) - u(100).$$

Insertar en la expresión para $m$ ,

$$u(m)=\frac{1}{2}\left[2u(40) - u(100)+u(180)\right] = u(40) + \frac{u(180)-u(100)}{2}.$$

Porque no permitimos la saturación, tenemos que en realidad $m$ será estrictamente superior a $40$ . Pero como no especificamos de otro modo la función de utilidad, la distancia de $m$ de $40$ puede hacerse arbitrariamente pequeño (nótese que la concavidad estricta implica continuidad). Así pues, $40$ es efectivamente el ínfimo (y véase un comentario más abajo sobre cómo se podría demostrar formalmente). Ya tenemos que $m<90$ por lo que el rango $(40,90)$ es una correcta aunque floja desde arriba gama abierta.

A continuación, por concavidad estricta, $$u(180)-u(100) < u(80),$$ así que $$u(m)<u(40) + \frac{u(80)}{2}.$$

Este aparece decir que $m$ puede tomar el valor $80$ ya que $m=80$ satisface la desigualdad anterior, debido a la concavidad estricta de $u$ .

Pero como un comentario insgihtful señaló si ponemos $m=80$ obtendremos

$$u(80) = u(40) + \frac{u(180)-u(100)}{2} \implies u(80) - u(40) = \frac{u(180)-u(100)}{2},$$

que no es compatible con la concavidad estricta. Y cualquier valor más alto para $m$ también se rechaza.

Así, a partir de este camino, obtenemos $m <80.$