Solución de forma cerrada para el VP de estos flujos de caja

Question

He estado tratando de encontrar una solución de forma cerrada para la siguiente ecuación, pero sin ningún progreso. Observo que los flujos de caja pueden separarse en: C1,C3,C5... que son 0; C2,C6,C10... negativos; C4,C8,C12... positivos. Se agradecería mucho una explicación detallada.

Solución dada por el profesor:

Answer 1

¡Buena pregunta!

A continuación, utilizo en primer lugar el hecho de que el coseno de $\frac{\pi}{2}i$ es cero para los números impares. Entonces reescribo $\cos(\pi i)$ como $(-1)^i$ . A continuación, añado el término zeroth, aplico la fórmula bien conocida para una serie geométrica alterna (serie de Taylor de $\frac{1}{1+x}$ ) y simplificar:

\begin{align*} \sum_{i=1}^\infty \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}i\right)}{(1+r)^i} &= \sum_{i=1}^\infty \frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}2i\right)}{(1+r)^{2i}} \\ &= \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^i}{(1+r)^{2i}}\\ &=-1+\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\left(\frac{1}{(1+r)^{2}}\right)^i\\ &=-1+\frac{1}{1+\frac{1}{(1+r)^{2}}} \\ &=-\frac{1}{1+(r+1)^2}<0. \end{align*}

Ver también aquí .

Como ves, la serie es siempre negativa. Suponiendo $C>0$ el FV es siempre negativo. Es evidente que la serie sólo converge si $r>0$ .