Sea $V_t^{T_1, T_2}$ sea el tipo swap de varianza a plazo para el período $[T_1, T_2]$ visto desde $t$ (véase, por ejemplo, la obra de Lorenzo Bergomi Dinámica de la sonrisa II ) y que $\xi_t^T = V_t^{T,T} = \frac{\partial}{\partial T} V_t^T$ sea el tipo swap de varianza a plazo instantáneo en $T$ visto desde $t$ donde $$V_t^T = P_{t,T} \mathbf{E}^{\mathbf{Q}^T} \left[\left. \frac{252}{N} \sum_{i=1}^N \left(\ln\left(\frac{S_{T_{i+1}}}{S_{T_i}}\right)\right)^2 \right| \mathscr{F}_t\right]$$ para la medida de avance $\mathbf{Q}^T$ asociada a alguna medida neutral de riesgo $\mathbf{Q}$ . (Supongo que el subyacente no paga dividendos hasta que $T$ .)
La curva inicial de varianza instantánea hacia delante $(\xi_0^T)_T = \left(\frac{\partial}{\partial T} V_0^T\right)_T$ es el punto de partida de la calibración de los modelos de curva de varianza (por ejemplo, los modelos P1, P2 (y PN) de Bergomi).
Como el $V_0^T$ vienen dadas por las comillas de mercado de los swaps de varianza (más exactamente, es el $\widehat{\sigma}_0^T = \sqrt{\frac{V_0^T}{T}}$ que se citan) lo que es práctica común (diferenciación numérica (pero cómo...) + interpolación (¿cuál?) o ajuste de una forma paramétrica (¿cuál?) para derivar $\xi_0^T$ ?
Observación : la pregunta supone implícitamente que existe un mercado de permutas de varianza sobre el subyacente considerado, sí, pero ¿qué se podría hacer si no tuviéramos en absoluto un mercado de VS, o si no tuviéramos acceso a las comillas de dicho mercado (pero tuviéramos al menos un mercado de opciones)?
(En primer lugar, podríamos calibrar la volatilidad local y fijar el precio de los swaps de varianza con ella para obtener comillas sintéticas de swaps de varianza, pero eso sería malo debido a las evidentes deficiencias del modelo de volatilidad local en relación con la volatilidad implícita a plazo a la que son sensibles los swaps de varianza. De hecho, lo mismo ocurriría con el modelo de Heston -- esto es clásico, véase Lorenzo Bergomi's Dinámica de la sonrisa I por ejemplo. La cuestión es que un buen tipo de modelo para tal sintetización sería el mismo tipo de modelos que estoy tratando de calibrar en primer lugar ...)
