Hola a todos, estoy tratando de obtener la solución solicitada como se muestra en la imagen (última ecuación de la imagen adjunta), sin embargo, después de calcular la ley del movimiento, solo obtengo parte de la ecuación que se me pide mostrar (es decir, solo obtengo la parte n+d/sz de la ecuación). ¿Qué estoy haciendo mal en este caso?
La ecuación fundamental del modelo Solow es (negligiendo los subíndices $t$):
$$ \Delta k= sf(k) -(n+d),$$
donde $k= K/N$, $\Delta k= k_{t+1}-k_t$ y $f(k)$ es la función de producción intensiva. Y esta ecuación debe ser igualada a $0$ para encontrar el valor de estado estacionario de $k$.
Pero el primer paso es calcular la función de producción intensiva $f(k)$.
Como en tu resultado no obtuviste la parte $(\frac {1} {1-\alpha}) ^{-1/\rho}$, supongo que perdiste en algún lugar de tus cálculos $(1-\alpha)$. Como $(1-\alpha)$ está en la función de producción, supongo que tu error podría estar en el cálculo de la función de producción intensiva.
Calcularemos la función de producción intensiva a partir de la función de producción en tu pregunta, que es (nuevamente, ignorando los subíndices $t$):
$$Y=z[\alpha K^\rho + (1-\alpha)N^\rho) ^{1/\rho}.$$
Dividiendo ambos lados por $N$ tenemos:
$$\frac{Y}{N}= f(k)= z[\alpha \frac {K^\rho}{N^\rho}+(1-\alpha)\frac {N^\rho}{N^\rho} ]^{-1/\rho}=$$ $$\;\;\;=z[\alpha k^\rho+ (1-\alpha)]^{1/\rho}.$$
Usando esta última ecuación, realizando los cálculos y reordenando, encontré el resultado en tu pregunta.
Puedes intentarlo, verificando si logras obtenerlo.$^1$
$^1$ No publiqué todos los pasajes porque son lo suficientemente largos, pero pasajes algebraicos triviales y no sé si vale la pena publicarlos, si llegas al resultado por ti mismo. Pero puedo publicarlos posteriormente, si prefieres.
Gracias por la excelente respuesta, tu tiempo es muy apreciado. Estoy trabajando en ello, sin embargo, empecé enchufando f(k) en la ecuación sf(k)-(n+d) (es decir, cambio en el capital), y luego igualándola a 0. No estoy segura si este paso está incorrecto, o si es mi álgebra la que está fallando, pero obtengo un resultado que es casi similar, pero no similar al solicitado en la configuración. Por ejemplo, mis resultados en cuanto al alpha, así como al (1-alpha) son diferentes a los de la prueba.
Publico una solución paso a paso, las pausas lentas son la mejor manera de evitar errores (eso espero).
En la respuesta anterior calculamos la función de producción intensiva:
$$f(k)=z[\alpha k^\rho+ (1-\alpha)]^{1/\rho}\;\;\;\; (1)$$
La ecuación fundamental, igualada a $0$ para encontrar el estado estable $k$, es:
$$ \Delta k= sf(k) -(n+d)=0 \;\;\;\; \;\;(2)$$
Sustituyendo $(1)$ en $(2)$ tenemos:
$$sz [\alpha k^\rho+ (1-\alpha)]^{1/\rho} - (n+d) k=0 \Leftrightarrow$$
$$sz [\alpha k^\rho+ (1-\alpha)]^{1/\rho} = (n+d) k \Leftrightarrow$$(elevando a la potencia $\rho$) $$s^\rho z^\rho [\alpha k^\rho+ (1-\alpha)] = (n+d)^\rho k^\rho \Leftrightarrow$$ $$s^\rho z^\rho \alpha k^\rho+ (1-\alpha)s^\rho z^\rho = (n+d)^\rho k^\rho \Leftrightarrow$$ $$k^\rho (s ^\rho z^\rho \alpha -(n+d)^\rho)= -(1-\alpha) s ^\rho z^\rho \Leftrightarrow $$ $$k^\rho= \frac {-(1-\alpha) s^\rho z^\rho}{s^\rho z^\rho \alpha -(n+d)^\rho} \Leftrightarrow$$ $$k= \left( \frac {-(1-\alpha) s^\rho z^\rho}{s^\rho z^\rho \alpha -(n+d)^\rho}\right)^{1/\rho}=$$ $$= (1-\alpha)^{1/\rho} \left( \frac {- s^\rho z^\rho}{s^\rho z^\rho \alpha -(n+d)^\rho}\right)^{1/\rho}=$$
$$=\left(\frac{1}{1-\alpha}\right) ^{-1/\rho} \left(\frac{s^\rho z^\rho \alpha- (n+d)^\rho}{- s^\rho z^\rho}\right)^{-1/\rho}=$$
$$=\left(\frac{1}{1-\alpha}\right) ^{-1/\rho} \left( \left( \frac {n+d} {sz}\right)^\rho - \alpha \right)^{-1/\rho}$$
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