punto ideal y función de distancia

Question

La pregunta es del libro de Ariel Rubinstein. 1-Mi primera pregunta es que es el punto ideal x algo así como (x1,x2)?

2-La razón por la que la función de utilidad se expresa en forma negativa es que estamos tomando la diferencia entre ellas?

3- En ese caso, ¿es u(b) = -d(a,y)?

Answer 1

Como se ha dicho en los comentarios, la pregunta carece de detalles y debería editarse.

Sin embargo, intento dar una respuesta basada en la interpretación más plausible de la pregunta, ya que su significado global es lo suficientemente claro como para esbozar una respuesta. Espero que te pueda ayudar, para aclarar tus ideas y también para editar la pregunta de forma adecuada.

En primer lugar, debe especificarse qué $X$ y, en particular, de qué conjunto se trata.

Supongo que es $X \subset \mathbb{R^n}$ . En principio, $X$ puede ser cualquier espacio métrico, es decir, un conjunto en el que un distancia está definido. Pero, en su caso tomo, como es habitual, $X \subset \mathbb{R^n}$ .

Pregunta 1. En este caso, $x$ es un vector en $\mathbb{R^n}$ , $x=(x_1, x_2,..., x_n)$ .

Pregunta 2 . No, la diferencia (no importa cuál pueda ser esta "diferencia", es decir, a qué diferencia te refieres) tiene nada que hacer con el signo menos de la función de utilidad $u(a)= -d(a,x)$ . Para entender este punto tenemos que saber qué es un distancia en matemáticas (su ejercicio habla de función de distancia) .

Pongo la definición rigurosa de distancia , si aún no lo sabes, por separado al final de esta respuesta. De momento, piensa en la noción cotidiana de distancia, por ejemplo, la distancia entre dos ciudades o calles.

El consumidor tiene un punto ideal, el paquete preferido, $x$ por lo que prefieren un conjunto de bienes lo más cercano posible al ideal $x$ que está a la menor distancia posible de $x$ .

¿Por qué el signo menos? Porque, en matemáticas (como en la vida cotidiana) una distancia es siempre positivo por lo que el signo menos dice que la utilidad es mayor si la distancia $d(a, x)$ es menor .

Pregunta 3 Esta pregunta no está clara, ¿qué es $y$ ? Deberías corregirlo. Si pregunta cuál es la utilidad de un paquete $b$ ya tienes la respuesta, por la definición de la función de utilidad: $u(b)= -d(b,x)$ .

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Apéndice. Definición de distancia en matemáticas.

La noción de distancia en matemáticas es una noción muy importante, junto con la noción de espacio métrico . La noción de distancia es una abstracción y una generalización de la idea intuitiva y cotidiana de la distancia entre dos objetos.

Definición . Dado un conjunto $Y$ de cualquier naturaleza (por lo que no sólo $\mathbb{R^n}$ ), a distancia o métrica $d$ es una función de $Y \times Y$ a $\mathbb{R}$ tal que, para todo $x, y, z \in Y$ se cumplen las siguientes propiedades:

1. $d \geq 0$ . ( positividad )

2. $d(x,y)=0$ sólo si $x=y$ .

3. $d(x,y)=d(y,x)$ (Simetría)

4. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Desigualdad triangular) .

Definición. A espacio métrico es un conjunto $Y$ en la que una distancia $d$ está definido, por lo que un espacio métrico es un par $(Y,d)$ .

Hay que subrayar que en un conjunto $Y$ se pueden definir varias distancias, también en $\mathbb{R^n}$ podría haber muchas distancias diferentes.

Pero en $\mathbb{R^n}$ hay una distancia habitual, el Distancia euclidiana que, dados dos vectores $x=(x_1,...,x_n)$ y $y=(y_1,...,y_n)$ se define como

$$\sqrt {(x_1-y_1)^2+ (x_2-y_2)^2+…+ (x_n-y_n)^2}$$ .

Observe que en $\mathbb{R}$ la distancia euclidiana entre dos puntos $x$ y $y$ se reduce a $d(x,y)=|x-y|$ es decir, se reduce al valor absoluto de la diferencia.