Cartera de desviación estándar mínima frente a cartera de varianza mínima

Question

Al resolver la cartera de varianza mínima, tenemos el objeto:

$$ f(w) = \frac{1}{2} w^T \Sigma w $$ con una restricción de escala básica: $$ \sum_{i=1}^N w_i = 1 $$ o en términos matriciales, $w^T \mathbf{1} = 1$ donde $\mathbf{1}$ es el $n$ vector de todos los unos.

Formando el Lagrangiano, obtenemos: $$ \Sigma w - \lambda \mathbf{1} = 0 $$ De lo cual tenemos: $$ w = \lambda \Sigma^{-1} \mathbf{1}$$ Utilizando la restricción, podemos resolver para $\lambda$ que acaba siendo una constante de normalización.

Intenté resolver la cartera de "desviación estándar mínima" de manera similar, sujeta a la misma restricción. Tiene la función objetivo: $$ f(w) = \sqrt{w^T \Sigma w} $$ su solución debería ser la misma que la cartera de varianza mínima porque el objetivo es simplemente una transformación monótona del objetivo de varianza mínima. Formando de nuevo el lagrangiano, obtenemos

$$ \frac{\Sigma w}{\sqrt{w^T\Sigma w}} - \lambda I = 0 $$

Sin embargo, no tengo claro cómo proceder a partir de aquí, ya que no puedo simplemente invertir $\Sigma$ para obtener una solución debido a que existe otra función de $w$ en el denominador. ¿Hay algo malo en aplicar los multiplicadores de Lagrange aquí, debido a la no diferenciabilidad de $\sqrt{.}$ ? ¿O me estoy perdiendo algo muy obvio?

Answer 1

Recordemos la conclusión del Teorema del multiplicador de Lagrange . Si $w^*$ es una solución óptima para la función objetivo $f(w)$ y la restricción $g(w) = 0$ entonces hay un único multiplicador de Lagrange $\lambda^*$ tal que $(w^*,\lambda^*)$ es un punto estacionario del Lagrangiano $\mathcal{L}(w) = f(w) - \lambda g(w)$ . Es decir, en términos de los operadores derivados $Df$ y $Dg$ ,

$$\tag{1}Df(w^*) - \lambda^*Dg(w^*) = 0$$

En este caso, tenemos la función objetivo y la restricción

$$f(w) = \sqrt{w^T\Sigma w}, \quad g(w) = w^T\mathbf{1} - 1$$

Aplicando (1), el punto estacionario $(w^*, \lambda^*)$ debe satisfacer

$$\frac{\Sigma w^*}{\sqrt{(w^*)^T\Sigma w^*}} - \lambda^* \mathbf{1} = 0,$$

y se deduce que

$$w^* = \lambda^*\sqrt{(w^*)^T\Sigma w^*}\Sigma^{-1}\mathbf{1}$$

Aplicando la restricción $(w^*)^T\mathbf{1} - 1= 0$ podemos resolver la expresión completa (escalar) $\lambda^*\sqrt{(w^*)^T\Sigma w^*}$ y obtener la misma solución que en el problema de la varianza mínima.