Variable omitida Sesgo con términos de interacción

Question

Supongamos que tenemos la regresión larga

$$y = \alpha + \beta D + \gamma X + \varepsilon$$

sino que se utiliza la regresión corta

$$y = \alpha + \beta D + \varepsilon$$

entonces se puede demostrar que el estimador OLS es inconsistente y el sesgo depende de la covarianza entre $X$ y $Y$ y la covarianza entre $X$ y $D$

$$\hat{\beta}_{OLS} \overset{p}{\to} \beta + \gamma \delta$$

donde $\delta$ es el coeficiente de una regresión de $X$ en $D$ . Esto se trata en muchas clases de econometría.

¿Qué ocurre cuando la regresión larga incluye también un efecto de interacción (que presumiblemente capta la selección sobre las ganancias)?

$$y = \alpha + \beta D + \gamma X + \eta D \times X + \varepsilon$$

¿y omitimos ambos términos en la regresión corta?

Answer 1

Cuando $y$ se hace una regresión sobre $D$ solamente, tenemos $$\hat\beta_{ols} = \frac{\sum_{i=1}^n D_i y_i}{\sum_{i=1}^n D_i} - \frac{\sum_{i=1}^n (1-D_i)y_i}{\sum_{i=1}^n (1-D_i)},$$ que se puede demostrar utilizando el álgebra. El resto es sencillo. Tenemos $$\mathrm{plim} \hat\beta_{ols} = E(y|D=1) - E(y|D=0).$$ Con $y = \alpha + \beta D + \gamma X + \eta(DX) + \varepsilon,\;\;$ donde $E(\varepsilon|D,X)=0,\;\;$ tenemos $$\begin{align} E(y|D=1) &= \alpha + \beta + \gamma E(X|D=1) + \eta E(X|D=1),\\ E(y|D=0) &= \alpha + \gamma E(X|D=0), \end{align}$$ y por lo tanto $$\mathrm{plim} \hat\beta_{ols} = \beta + \gamma [E(X|D=1) - E(X|D=0)] + \eta E(X|D=1).$$

He hecho una simulación.

set.seed(1)
n <- 100000
d <- as.numeric(rnorm(n) > 0)
x <- 0.5*d + rnorm(n, mean=1)
# E(x|d=1)=1.5, E(x|d=0)=0.5
y <- 1-0.5*d+x+2*d*x+rnorm(n)
# beta=-0.5, gamma=1, eta=2
# plim bhat(ols) = -0.5 + 1*(1.5-0.5) + 2*(1.5) = 3

Por esto, $\beta= -0.5$ , $\gamma = 1$ , $\eta=2$ , $E(x|d=1) = 0.5+1 = 1.5,\;\;$ y $E(x|d=0) = 1,\;\;$ para que el límite de probabilidad del estimador OLS sea $-0.5 + 1(1.5 - 1) + 2(1.5) = 3.\;\;$ Sí, es cierto,

lm(y~d)

# Call:
# lm(formula = y ~ d)
#
# Coefficients:
# (Intercept)            d  
#       1.997        3.005