Existencia de un equilibrio de Nash

Question

Sé que hay dos pruebas de la existencia del equilibrio de Nash: Una utilizando el teorema del punto fijo de Kakutani en Nash (1950), y la otra utilizando el teorema del punto fijo de Brouwer en Nash (1951).

He visto una tercera prueba pero falta de detalles. ¿Podría alguien ayudarme a completar los detalles y entender la prueba? Se lo agradezco mucho.

Los antecedentes son los siguientes:

Sea G un juego con n jugadores. Sea $S = \prod_n S_n$ donde $S_n$ es el conjunto de estrategias puras finitas del jugador n. Sea $G_n: S \to \mathbb R$ denotan la función de recompensa. Sea $\Sigma_n$ sea el conjunto de estrategias mixtas del jugador n:

$$\Sigma_{n} = \{ \sigma_{n} \in \mathbb{R}^{S_{n}}_{+} \vert \sum_{s_n \in S_n} \sigma_{n,s_n} = 1 \}$$

Dejemos que $\Sigma = \prod_n \Sigma_n$ . Entonces $G_n(\sigma) = \sum_{s \in S} G_n(s)\sigma_{1,s_1} \dots \sigma_{n,s_n}$ .

$\forall n$ , $\Sigma_{-n} = \prod_{m \neq n} \Sigma_m$ . Entonces, $G_n(\sigma) = \sum_{s_n \in S_n} G_n(s_n, \sigma_{-n})\sigma_{n,s_n}$

Definición: $\sigma^{\ast}$ es un equilibrio de Nash de G si $\forall n$ , $\tau_n \in \Sigma_n$ , $G_n(\sigma^{\ast}) \ge G_n(\tau_n, \sigma_{-n})$

Lema: $\sigma^{\ast}$ es un equilibrio de Nash si y sólo si $\forall n, s_n, G_n(\sigma^{\ast}) \ge G_n(s_n, \sigma_{-n})$

Ahora tenemos el teorema de la existencia:

$\mathbf {Theorem: \ G \ has \ a \ Nash \ equilibrium.}$

La tercera $\mathbf {proof}$ es así:

$\forall n$ , dejemos que $$h_n: \Sigma_n \to \mathbb R$$ sea una función continua estrictamente cóncava. $\forall \epsilon \gt 0$ , defina $$G^{\epsilon}_n:\Sigma \to \mathbb R$$ por $G^{\epsilon}_n(\sigma) = G_n(\sigma)+\epsilon h_n(\sigma_n)$ Entonces la mejor función de respuesta $${BR}^{\epsilon}_n(\sigma) = \underset{\tau_n \in \Sigma_n}{ArgMax} \ G^{\epsilon}_n(\sigma_{-n}, \tau_n)$$ .

También, $${BR}^{\epsilon} = {BR}^{\epsilon}_1 \times \dots \times {BR}^{\epsilon}_n$$ Aplicar el teorema del punto fijo de Brouwer para obtener un punto fijo $\sigma^{\epsilon}$ de ${BR}^{\epsilon}$ .

Ahora, tomemos una secuencia convergente { $\sigma^{\epsilon}$ } tal que $$\sigma^{\epsilon} \underset{\epsilon \to 0}{\to} \sigma$$ Entonces $\sigma$ es un equilibrio de Nash de G.

Básicamente, no veo por qué se puede aplicar el teorema del punto fijo de Brouwer en ese paso. Además, en el último paso, no puedo entender por qué es $\sigma$ es un equilibrio de Nash de G.

Answer 1

El primer paso es demostrar que $BR^\epsilon$ es una función continua del conjunto convexo compacto $\Sigma$ a sí mismo, lo que equivale a mostrar $BR_n^\epsilon$ es una función continua para cada $n$ .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $G_n$ y es lineal en $\Sigma_n$ y, por tanto, cóncavo. Dado que $h_n$ es estrictamente cóncava, la función $G_n^\epsilon$ es estrictamente cóncava como la suma de una función cóncava y una función estrictamente cóncava. Ahora bien, una función estrictamente cóncava puede tener a lo sumo un maximizador, de lo contrario, habría una combinación convexa adecuada de dos maximizadores con un valor estrictamente mayor. Además, la función $G_n^\epsilon$ es continua en $\Sigma$ y $\Sigma_n$ es un conjunto compacto, por lo que existe un máximo. Para demostrar que el maximizador único es una función continua de $\Sigma_{-n}$ se puede utilizar que la correspondencia mejor respuesta es hemicontinua superior por el teorema del máximo de Berge, que en el caso de una función se reduce a la continuidad; el problema als.

En segundo lugar, para ver que $\sigma^{\epsilon} \underset{\epsilon \to 0}{\to} \sigma$ implica que $\sigma$ es un equilibrio de Nash, supongamos que no. Entonces existe algún $n$ y algunos $\tau_n\in\Sigma_n$ tal que $$G_n(\tau_n,\sigma_{-n})-G_n(\sigma_n,\sigma_{-n})>0.$$ La función $$\sigma'\mapsto G_n(\tau_n,\sigma_{-n}')-G_n(\sigma_n',\sigma_{-n}')$$ es continua, por lo que para algunos $\epsilon$ debemos tener $$G_n(\tau_n,\sigma_{-n}^\epsilon)-G_n(\sigma_n^\epsilon,\sigma_{-n}^\epsilon)>0,$$ lo que nos da una contradicción.