La fórmula R^2 ajustada es :
$$ \overline{R}^{2}=1-\left( \left( 1-R^{2}\right) \cdot > \dfrac{n-1}{n-k}\right) $$
En caso de k > 1 , continúo así;
$$ \overline{R}^{2}=1-\left( \dfrac{n-1}{n-k}-\dfrac{n-1}{n-k}R^{2}\right) $$
entonces
$$ \left( n-k\right) \cdot \overline{R}^{2}=n-k-\left( n-1\right) +\left( n-1\right) R^{2} $$
así que $$ \left( n-k\right) \cdot \overline{R}^{2}-\left( n-1\right) R^{2}=1-k $$
pero después no sé cómo proceder, ¿hay alguien que tenga una idea?
$$ SSRes=\sum_{i=1}^n\left( y_i-\hat y_i \right)^2\\ SSTotal=\sum_{i=1}^n\left( y_i-\bar y \right)^2 $$
$$ R^2=1-\dfrac{ SSRes/(n-1) }{ SSTotal/(n-1) } $$
$$ \bar R^2=1-\dfrac{ SSRes/(n-k) }{ SSTotal/(n-1) } $$
Cuando $k>1$ el numerador de la segunda ecuación será mayor, lo que significa que la segunda ecuación resta un número mayor de $1$ que la primera ecuación.
Así, $R^2\ge \bar R^2.$ $\square$
Una forma de pensar en $R^2$ es que compara la varianza del error con la varianza total, y ajustada $\bar R^2$ hace lo mismo pero con una estimación de la varianza del error que es ligeramente mayor. Como esa estimación de la varianza del error es ligeramente mayor, el $\bar R^2$ debe ser ligeramente menos favorable (ligeramente menor).
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