¿Cómo puedo demostrar que es convexo? ¿Cómo probarlo con la típica definición de t en [0,1]? Estoy teniendo problemas al escribir ecuaciones aquí, disculpa. Por favor ayúdame
Podemos hacer la vida más fácil tomando una transformación monotónica de $$U=log (x_1)^2+log (x_2)^2.$$
Esto es posible ya que las transformaciones monótonicas de una función de utilidad representan las mismas preferencias.
Podemos ver que la función de utilidad anterior se puede reconducir a una función de utilidad Cobb-Douglas $U(x_1,x_2)= x_1^ax_2^b$, $a,b>0$.
Toma
$U_1(x_1,x_2)=e^{log (x_1)^2+log (x_2)^2}= x_1^2 x_2^2, $
lo cual puede ser además transformado (ya que el cuadrado es una transformación monótona para valores positivos) como:
$$U_2(x_1,x_2)=x_1 x_2.$$
Las curvas de indiferencia están dadas por:
$$U_2(x_1,x_2)=x_1 x_2=c.$$ $c$ constante,
es decir:
$$x_1=\frac{c}{x_2}.$$
Las curvas de indiferencia son hipérbolas, que son convexas, las preferencias son convexas.
¿No es la pregunta si la función de utilidad es convexa? (A diferencia de si genera curvas de indiferencia convexas, o racionaliza preferencias convexas.)
Son preguntas conectadas. Una preferencia puede definirse como 'convexa si el conjunto de contorno superior es convexo'. Esta definición es equivalente a la definición con $\lambda$ y $[0,1]$ y así sucesivamente. Para ver estas definiciones, puede consultar a Mas Colell, Teoría Microeconómica.
No creo que la conexión esté clara en absoluto. Por ejemplo, las preferencias Cobb Douglas pueden representarse utilizando una función de utilidad cóncava, pero generan curvas de indiferencia convexas. En contraste, existe una conexión entre la convexidad de las curvas de indiferencia y la cuasi-concavidad de la función de utilidad.
Una prueba que utilizó una calculadora:
Sea $y = (\frac{3}{4},\frac{1}{4}), z = (\frac{1}{4},\frac{3}{4}), x = (e,1)$
Tenemos que
$U(x) = (\log(e))^2 + (\log(1))^2 = 1^2 + 0^2 = 1 + 0 = 1$,
$U(y) = (\log{\frac{3}{4}})^2 + (\log{\frac{1}{4}})^2 = (\log(3) - \log(4))^2 + (-\log(4))^2 = (\log(4) - \log(3))^2 + (\log(4))^2 = (\log(4))^2 - 2 \log(3)\log(4) + (\log(4))^2 = 2 (\log(4))^2 - 2 \log(3) \log(4)$
$= 2 (2 \log(2))^2 -4 \log(3) \log(2) = 8 \log(2) - 4 \log(3) \log(2) = (8-4\log(3)) \log(2) \approx 2$
Nota que $U(x_1,x_2)$ es simétrico en $x_1, x_2$.
Por simetría, $U(z) = (8-4\log(3)) \log(2) \approx 2$.
Esto implica que $y \geq x$ y $z \geq x$.
Pero para $\lambda = \frac{1}{2} \in [0,1]$,
$\lambda y + (1-\lambda)z = \frac{1}{2} y + \frac{1}{2} z = (\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,
y
$U(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) = (\log(\frac{1}{2}))^2 + (\log(\frac{1}{2}))^2 = 2 (\log(\frac{1}{2}))^2 = 2 (-\log(2))^2 = 2 (\log(2))^2 \approx 0.96 < 1 = U(x)$
Por lo tanto, $\lambda y + (1-\lambda)z < x$.
A partir de esto, podemos concluir que la relación de preferencia representada por la función de utilidad no es convexa.
En una línea: la función de utilidad que posteaste es monótona y continua. Cualquier función monótona es cuasi-cóncava. La cuasi-cóncavidad implica preferencias convexas.
La forma más rápida posible de ver que esta función es estrictamente cóncava es simplemente notar (sin álgebra) que el Hessiano es negativo semidefinido, ya que las derivadas cruzadas son cero.
Tal vez te refieras a funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$. Una función definida en un intervalo de $\mathbb{R}$ es cuasiconcava si es monótona, eso es verdad. Pero la función en cuestión es una función de dos variables. No puedes extender esta afirmación a funciones de $\mathbb{R^2}$ a $\mathbb{R}$, porque en $\mathbb{R^2}$, en análisis matemático, no hablamos de 'función monótona'. Una definición de monotonía requiere un orden. En $\mathbb{R}$ hay un orden, en $\mathbb{R^2}$ un orden no está definido.
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¿Insistes en demostrarlo con la definición [0,1], o considerarías usar derivadas?
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@Giskard ¿Usando la definición de derivada? Si tengo que usar la definición de Hessiano, ¿debería ser positivo semi-definido? Pero, ¿no sé qué significa positivo semi-definido? Además, ¿hay alguna diferencia al probar que la preferencia es convexa frente a que la función sea convexa?
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¿Es $\ln[(x_1)^2]$ o $[\ln(x_1)]^2$?
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Creo que es lo suficientemente claro que es $ln [(x_1)^2]$ La fórmula en la pregunta es correcta, tal vez hay corchetes superfluos, pero con corchetes tal vez es mejor: sin corchetes, un cuadrado, ya que hay un subíndice cerca de la $x_i$, podría confundirse con un superíndice.
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@reindeer Solo para aclarar, ¿estás preguntando si esta función de utilidad es convexa? (A diferencia de si representa preferencias convexas, o genera curvas de indiferencia convexas.)
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Creo que significa determinar si representa preferencias convexas, es decir, si la utilidad en el paquete convexo me proporcionaría una utilidad mayor que la combinación convexa.
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@reindeer Entiendo; debo enfatizar que esta no es la misma pregunta que si la función de utilidad en sí es convexa (lo cual se podría verificar usando la definición [0, 1], o examinando la matriz Hessiana asociada).