Si hago la LaGrangiana para el problema de minimización de gastos, sale como p1 = p2 = p3, ¿cómo lo sustituyo de nuevo en la restricción y encuentro la demanda hicksiana para encontrar e(p,u)?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No lo haces porque la función de utilidad es lineal. Si se intenta utilizar el método de Lagrang en funciones de utilidad lineales se obtienen ecuaciones sin sentido. (El consumidor no puede hacer que todos los precios sean iguales).
El problema de optimización es
$\min p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3$
con sujeción a $x_1 + x_2 + x_3 = \overline{U}$
Hay que tener en cuenta los casos en función de qué precio es el menor. A partir de cada caso se pueden introducir las demandas hicksianas en el gasto $p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3$ para obtener la función de gasto $e(p_1,p_2,p3,\overline{U})$ .
- $p_1 < p_2, p_3$
$\implies x_1 = \overline{U}, x_2 = 0, x_3 = 0$
Esto da como resultado $e = p_1 \overline{U}$
- $p_2 < p_1, p_3$
$\implies x_1 = 0, x_2 = \overline{U}, x_3 = 0$
Esto da como resultado $e = p_2 \overline{U}$
- $p_3 < p_1, p_2$
$\implies x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = \overline{U}$
Esto da como resultado $e = p_3 \overline{U}$
- $p_1 = p_2 < p_3$
$\implies x_1 = \alpha, x_2 = \overline{U} - \alpha, x_3 = 0, 0 \leq \alpha \leq \overline{U}$ (una línea en el espacio 3D)
Esto da como resultado $e = p_1 \overline{U} = p_2 \overline{U}$
- $p_1 = p_3 < p_2$
$\implies x_1 = \alpha, x_2 = 0, x_3 = \overline{U} - \alpha, 0 \leq \alpha \leq \overline{U}$ (una línea en el espacio 3D)
Esto da como resultado $e = p_2 \overline{U} = p_3 \overline{U}$
- $p_2 = p_3 < p_1$
$\implies x_1 = 0, x_2 = \alpha, x_3 = \overline{U} - \alpha, 0 \leq \alpha \leq \overline{U}$ (una línea en el espacio 3D)
Esto da como resultado $e = p_2 \overline{U} = p_3 \overline{U}$
- $p_1 = p_2 = p_3$
$\implies x_1 = \alpha, x_2 = \beta, x_3 = \overline{U} - \alpha - \beta, 0 \leq \alpha \leq \overline{U}, 0 \leq \beta \leq \overline{U} - \alpha$ (un plano en el espacio 3D)
Esto da como resultado $e = p_1 \overline{U} = p_2 \overline{U} = p_3 \overline{U}$
Edición: En general, para este problema, la función de gasto se parece a esto:
$e(p_1,p_2,p_3,\overline{U}) = p_{min} \overline{U}$ , donde
$p_{min} = \min\{p_1,p_2,p_3\}$ .
Obsérvese la función de gasto óptima que obtuvimos $e(p_1,p_2,p_3,\overline{U})$ está definida a trozos, por lo que no es diferenciable. Esta es la razón por la que no se puede obtener a través del método lagrangiano, que se basa en las derivadas (de ahí la diferenciabilidad).
Lo anterior siempre ocurre cuando se da una función de utilidad lineal.
Nota: $\#$ parámetros $=$ dimensión del colector de paquetes óptimos
